MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 143

a) Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy $-2{,}5$:

$a_1=100,\qquad a_{n+1}=a_n-2{,}5,$ $a_n=100-2{,}5(n-1)=102{,}5-2{,}5n.$

b) Każdy wyraz stanowi $\frac34$ poprzedniego:

$a_1=60,\qquad a_{n+1}=\frac34a_n,$ $a_n=60\left(\frac34\right)^{n-1}=80\left(\frac34\right)^n.$

c) Jedna trzecia podwojonego wyrazu to $\frac23$ tego wyrazu:

$a_1=6,\qquad a_{n+1}=\frac23a_n,$ $a_n=6\left(\frac23\right)^{n-1}=9\left(\frac23\right)^n.$

a) Ze skanu strony 143 odczytujemy liczby części: $1,4,7,10,13$. W każdym kroku jeden mały kwadrat zastępuje się czterema, więc łączna liczba części rośnie o $3$:

$a_1=1,\qquad a_{n+1}=a_n+3.$

Jest to ciąg arytmetyczny, zatem

$a_n=1+3(n-1)=3n-2.$

b) Szukamy najmniejszej dodatniej liczby całkowitej spełniającej

$3k-2>100,$ $k>34.$

Najmniejszą taką liczbą jest $35$.

a) Pierwsze wyrazy to

$\frac12,\quad\frac16,\quad\frac1{24},\quad\frac1{120}.$

Ponieważ $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac1{n+2}$, rekurencja ma postać

$a_1=\frac12,\qquad a_{n+1}=\frac{a_n}{n+2}.$

b) Otrzymujemy

$2,\quad8,\quad48,\quad384.$

Iloraz kolejnych wyrazów to $2(n+1)$, więc

$a_1=2,\qquad a_{n+1}=2(n+1)a_n.$

c) Pierwsze wyrazy są równe

$1,\quad2,\quad\frac92,\quad\frac{32}{3}.$

Ponieważ

=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n,$$ możemy przyjąć $$a_1=1,\qquad a_{n+1}=a_n\left(\frac{n+1}{n}\right)^n.$$

W każdym podpunkcie zapisujemy rekurencję raz z różnicy, a raz z ilorazu.

a) $a_1=12$, a

$a_{n+1}-a_n=4,\qquad \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+3}{n+2}.$

Zatem $a_{n+1}=a_n+4$ lub $a_{n+1}=\frac{n+3}{n+2}a_n$.

b) $a_1=\frac32$, a

$a_{n+1}-a_n=-\frac3{2^{n+1}},\qquad \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac12.$

Zatem $a_{n+1}=a_n-\frac3{2^{n+1}}$ lub $a_{n+1}=\frac12a_n$.

c) $a_1=2$, a

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}.$$ **d)** $a_1=2$, a $$a_{n+1}-a_n=2(n+1),\qquad \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+2}{n}.$$

Z rekurencji ciągu $(a_n)$ mamy

$a_{n+2}=3a_{n+1}-1=3(3a_n-1)-1=9a_n-4.$

Ponadto

$a_1=1,\qquad a_2=3a_1-1=2.$

Ciąg $(a_n)$ spełnia więc tę samą rekurencję drugiego rzędu i ma te same dwa wyrazy początkowe co ciąg $(b_n)$. Indukcyjnie: jeśli $a_n=b_n$, to

$a_{n+2}=9a_n-4=9b_n-4=b_{n+2}.$

Oddzielne rozpoczęcie dla $n=1$ i $n=2$ obejmuje oba parytety indeksów, zatem $a_n=b_n$ dla każdego $n\geqslant1$. Ciągi są równe.