MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 142

a) Dodajemy kolejno $8$:

$a_2=13,\quad a_3=21,\quad a_4=29,\quad a_5=37,\quad a_6=45.$

b) Stosujemy wzór $a_{n+1}=3a_n-2$:

$a_2=10,\quad a_3=28,\quad a_4=82,\quad a_5=244,\quad a_6=730.$

c) Kolejne podstawienia do $(1+a_n)^2$ dają

$a_2=0,\quad a_3=1,\quad a_4=4,\quad a_5=25,\quad a_6=676.$

d) Obliczamy kolejno:

$a_2=3,$ $a_3=\frac13+2=\frac73,$ $a_4=\frac37+2=\frac{17}{7},$ $a_5=\frac7{17}+2=\frac{41}{17},$ $a_6=\frac{17}{41}+2=\frac{99}{41}.$

a) Kolejne mnożniki to $\frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\frac56$:

$a_2=1,\quad a_3=\frac23,\quad a_4=\frac12,\quad a_5=\frac25,\quad a_6=\frac13.$

b) Korzystamy na przemian z dwóch poprzednich wyrazów:

$a_3=\frac12,\quad a_4=4,\quad a_5=\frac18,\quad a_6=32,\quad a_7=\frac1{256}.$

c) Stosujemy $a_{n+1}=-a_n+2a_{n-1}$:

$a_3=0,\quad a_4=2,\quad a_5=-2,\quad a_6=6,\quad a_7=-10.$

d) Sumujemy trzy poprzednie wyrazy:

$a_4=-3,\quad a_5=-4,\quad a_6=-7,\quad a_7=-14,\quad a_8=-25.$

Pierwsze wyrazy to

$a_1=-3,\quad a_2=3,\quad a_3=-3,\quad a_4=3.$

Z rekurencji wynika więc, że $a_n=-3$ dla nieparzystych $n$ i $a_n=3$ dla parzystych $n$. W sumie od $a_{10}$ do $a_{20}$ jest sześć wyrazów o indeksach parzystych i pięć o indeksach nieparzystych. Zatem

$a_{10}+a_{11}+\ldots+a_{20}=6\cdot3+5\cdot(-3)=3.$

a) Od $a_1=a_2=1$ otrzymujemy kolejno

$a_3=4,\quad a_4=7,\quad a_5=13,\quad a_6=22,\quad a_7=37.$

b) Dla trzech początkowych jedynek:

$a_4=5,\quad a_5=9,\quad a_6=17,\quad a_7=33,\quad a_8=61.$

c) Dla czterech początkowych jedynek:

$a_5=6,\quad a_6=11,\quad a_7=21,\quad a_8=41,\quad a_9=81.$