MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 141

a) Z wykresu odczytujemy poziomą asymptotę $y=4$. Dla funkcji

$f(x)=\frac{kx+4}{x+2}$

asymptota pozioma ma równanie $y=k$, zatem $k=4$. Wyrazy ciągu są wartościami funkcji dla dodatnich liczb naturalnych:

$a_n=f(n)=\frac{4n+4}{n+2}=4-\frac4{n+2}.$

b) Mamy

$b_n=a_{n+2}=4-\frac4{n+4}.$

Ponieważ $\frac1{n+4}$ maleje, ciąg $(b_n)$ jest rosnący. Ponadto

$c_n=\frac1{a_n}=\frac{n+2}{4n+4}=\frac14\left(1+\frac1{n+1}\right),$

więc ciąg $(c_n)$ jest malejący.

a) Zapisujemy

$a_n=-1-\frac1{n+1}.$

Ponieważ $\frac1{n+1}$ maleje, ciąg $(a_n)$ jest rosnący. Dalej

=\frac{n+3}{n+1}=1+\frac2{n+1},$$ więc ciąg $(b_n)$ jest malejący. **b)** Skoro $a_n<a_{n+1}<a_{n+2}<0$, to z nierówności $a_n<a_{n+2}$ po pomnożeniu przez ujemne $a_{n+1}$ otrzymujemy $$a_na_{n+1}>a_{n+1}a_{n+2}.$$ Lewa strona jest równa $b_n$, a prawa $b_{n+1}$, zatem $b_n>b_{n+1}$ dla każdego $n$. To dowodzi, że $(b_n)$ jest malejący.

a) Ponieważ $2n<2n+2$ i $(a_n)$ jest rosnący,

$b_n=a_{2n}<a_{2n+2}=b_{n+1}.$

b) Analogicznie $a_{2n+1}<a_{2n+3}$. Pomnożenie przez dodatnią liczbę $\frac14$ zachowuje nierówność, więc $b_n<b_{n+1}$.

c) Mamy jednocześnie

$a_{2n-1}<a_{2n+1},\qquad a_{2n}<a_{2n+2}.$

Po dodaniu stronami otrzymujemy

$b_n=a_{2n-1}+a_{2n}<a_{2n+1}+a_{2n+2}=b_{n+1}.$

Mamy $0<a_n<a_{n+1}<a_{n+2}$.

a) Odwrotności dodatnich liczb odwracają porządek:

$b_n=\frac1{a_n}>\frac1{a_{n+1}}=b_{n+1}.$

b) Dodając nierówności $a_n<a_{n+1}$ i $a_{n+1}<a_{n+2}$, otrzymujemy

$a_n+a_{n+1}<a_{n+1}+a_{n+2},$

czyli $c_n<c_{n+1}$.

c) Ponieważ $a_{n+1}>0$ i $a_n<a_{n+2}$,

$a_na_{n+1}<a_{n+1}a_{n+2}.$

Pierwiastek jest funkcją rosnącą na zbiorze liczb dodatnich, więc $d_n<d_{n+1}$.

d) Z podpunktu a) ciąg $(1/a_n)$ jest malejący, zatem

$\frac1{a_n}+\frac1{a_{n+1}}>\frac1{a_{n+1}}+\frac1{a_{n+2}}>0.$

Po przejściu do odwrotności i pomnożeniu przez $2$ dostajemy $e_n<e_{n+1}$.

a) Różnica kolejnych wyrazów wynosi

$a_{n+1}-a_n=\frac{1-k}{(n+1)(n+2)}.$

Mianownik jest dodatni, więc różnica jest ujemna wtedy i tylko wtedy, gdy $k>1$.

b) Dla $k\neq0$ zapisujemy

$a_n=\frac1k\left(\frac5n-1\right),$

stąd

$a_{n+1}-a_n=-\frac{5}{k n(n+1)}.$

Różnica jest ujemna dokładnie dla $k>0$.

c) Funkcja pomocnicza $u_n=\frac{n^2}{n+2}$ jest rosnąca, ponieważ

$u_{n+1}-u_n=\frac{n^2+5n+2}{(n+2)(n+3)}>0.$

Zatem $a_n=ku_n$ jest malejący dokładnie wtedy, gdy $k<0$.

a) Dla $k\neq0$ ciąg jest liniowy:

$a_n=\left(1-\frac1k\right)n+\frac2k.$

W zależności od znaku współczynnika przy $n$ jest rosnący, malejący albo stały, więc jest monotoniczny dla każdego $k\neq0$. Dla $k=0$ wzór nie ma sensu.

b) Różnica kolejnych wyrazów jest równa

$a_{n+1}-a_n=2n+3-k.$

Jej najmniejsza wartość dla $n\geqslant1$ to $5-k$. Dla $k\leqslant5$ wszystkie różnice są nieujemne. Dla $k>5$ pierwsze różnice są ujemne, a późniejsze dodatnie, więc ciąg nie jest monotoniczny.

c) Skan strony 141 potwierdza wzór $a_n=n^3+kn$; zapis $k^n$ w OCR jest błędny. Mamy

$a_{n+1}-a_n=3n^2+3n+k+1.$

Wyrażenie rośnie wraz z $n$, a dla $n=1$ ma wartość $k+7$. Jest nieujemne dla każdego $n\geqslant1$ dokładnie wtedy, gdy $k\geqslant-7$. Dla $k<-7$ różnice najpierw są ujemne, a potem dodatnie.