Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Zbiór zadań · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 140

temat „3.3. Ciągi monotoniczne (1)” · 9 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 14

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Z warunków otrzymujemy układ {25+5B+C=6,36+6B+C=13.\begin{cases}25+5B+C=6,\\36+6B+C=13.\end{cases} Po odjęciu równań mamy 11+B=711+B=7, czyli B=−4B=-4, a następnie C=1C=1. Zatem an=n2−4n+1.a_n=n^2-4n+1. Różnica kolejnych wyrazów wynosi an+1−an=2n−3.a_{n+1}-a_n=2n-3. Dla n=1n=1 jest ujemna, a dla n≥2n\ge2 dodatnia, więc ciąg nie jest monotoniczny.

Odpowiedź

B=−4B=-4, C=1C=1; ciąg nie jest monotoniczny.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 15

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

a) Funkcja pierwiastkowa jest ściśle rosnąca, więc n−1\sqrt n-1 rośnie wraz z nn.

b) Usuwamy niewymierność z mianownika: an=n+1−n=1n+1+n.a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}. Mianownik rośnie, więc dodatni ułamek maleje.

c)

=1-\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}>0,$$ bo dla $n\ge1$ mianownik jest większy od $1$.
Odpowiedź

a), c) ciąg rosnący; b) ciąg malejący.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 16

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Mamy an+1<an<−1a_{n+1}<a_n<-1.

a) bn+1−bn=−an+1+an>0,b_{n+1}-b_n=-a_{n+1}+a_n>0, więc (bn)(b_n) jest rosnący.

b)

=\frac{a_{n+1}-a_n}{a_na_{n+1}}<0,$$ bo licznik jest ujemny, a mianownik dodatni. Ciąg $(c_n)$ jest malejący. **c)** Ponieważ $a_n<0$, mamy $d_n=|a_n|=-a_n$, więc jak w a) ciąg $(d_n)$ jest rosnący. **d)** Wyrazy $e_n=(-1)^{a_n}$ zależą tylko od parzystości $a_n$. Jeśli wszystkie $a_n$ mają tę samą parzystość, $(e_n)$ jest stały; przy odpowiednich zmianach parzystości może być niemonotoniczny. Z założeń nie wynika więc jeden rodzaj monotoniczności.
Odpowiedź

a), c) ciąg rosnący; b) ciąg malejący; d) nie można jednoznacznie rozstrzygnąć monotoniczności (ciąg może być np. stały albo niemonotoniczny).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 17

2 podpunkty

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Ponieważ an=f(n)a_n=f(n),

=2a(n-1)+a+(2a+b).$$ **a)** Gdy $a>0$ i $2a+b\ge0$, dla $n\ge1$ mamy $2a(n-1)\ge0$, $a>0$ i $2a+b\ge0$. Zatem różnica jest dodatnia i ciąg jest rosnący. **b)** Gdy $a<0$ i $2a+b\le0$, mamy $2a(n-1)\le0$, $a<0$ i $2a+b\le0$. Zatem różnica jest ujemna i ciąg jest malejący.
Odpowiedź

a) ciąg rosnący; b) ciąg malejący.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 18

2 podpunkty

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Po zamianach ciąg zaczyna się następująco: 2,1,4,3,6,5,…2,1,4,3,6,5,\ldots i ma wzór bn={n+1dla nieparzystych n,n−1dla parzystych n.b_n=\begin{cases}n+1&\text{dla nieparzystych }n,\\n-1&\text{dla parzystych }n.\end{cases}

a) Mamy b1>b2b_1>b_2 oraz b2<b3b_2<b_3, więc ciąg nie jest monotoniczny.

b) Liczby nn i n+2n+2 mają tę samą parzystość. W obu przypadkach wzór daje bn+2−bn=2>0.b_{n+2}-b_n=2>0.

Odpowiedź

(bn)(b_n) nie jest monotoniczny, a dla każdego n≥1n\ge1 zachodzi bn+2−bn=2>0b_{n+2}-b_n=2>0.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 19

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Najbardziej wewnętrzny pierwiastek jest równy (2⋅2n+1)2=2n+1+1.\sqrt{(2\cdot2^n+1)^2}=2^{n+1}+1. Jeśli wartość części wewnętrznej na kolejnym poziomie jest równa 2k+1+12^{k+1}+1, to

=\sqrt{(2^k+1)^2}=2^k+1.$$ Stosując tę zależność kolejno dla $k=n,n-1,\ldots,0$, otrzymujemy wartość całego wyrażenia $2^0+1=2$, niezależną od $n$.
Odpowiedź

Tak. an=2a_n=2 dla każdego nn, więc ciąg jest stały.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 20

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Weźmy an=(12)na_n=\left(\frac12\right)^n. Jest to ciąg malejący o dodatnich wyrazach. Dla każdych trzech kolejnych wyrazów największy jest ana_n, natomiast an+1+an+2=12an+14an=34an<an.a_{n+1}+a_{n+2}=\frac12a_n+\frac14a_n=\frac34a_n<a_n. Nie jest więc spełniona nierówność trójkąta.

Odpowiedź

Przykładowo an=(12)na_n=\left(\frac12\right)^n.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 21

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Przed b8=38=6561b_8=3^8=6561 leży siedem wyrazów ciągu (bn)(b_n). Liczymy wyrazy ciągu (an)(a_n) mniejsze od 65616561: 3m+535<6561  ⟺  m<200823,3m+535<6561\iff m<2008\frac23, czyli jest ich 20082008. Zatem b8b_8 zajmuje dopiero miejsce 20162016 w połączonym ciągu.

W okolicy miejsca 20092009 wstawiono już dokładnie siedem potęg 33, więc c2009=a2009−7=a2002=3⋅2002+535=6541.c_{2009}=a_{2009-7}=a_{2002}=3\cdot2002+535=6541.

Odpowiedź

c2009=6541c_{2009}=6541.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 22

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Niech m=n+2m=n+2 i niech Rn,rnR_n,r_n oznaczają odpowiednio promień okręgu opisanego i wpisanego w foremny mm-kąt o boku 11. Mamy Rn=12sin⁡(π/m),rn=Rncos⁡πm.R_n=\frac1{2\sin(\pi/m)},\qquad r_n=R_n\cos\frac\pi m. Stąd Rn2−rn2=Rn2sin⁡2πm=14.R_n^2-r_n^2=R_n^2\sin^2\frac\pi m=\frac14. Pole pierścienia wynosi więc Pn=π(Rn2−rn2)=π4P_n=\pi(R_n^2-r_n^2)=\frac\pi4 dla każdego n≥1n\ge1.

Odpowiedź

Ciąg jest stały: Pn=π4P_n=\frac\pi4.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem