MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 139

W $n$-tym kwadracie środki kół tworzą układ $n\times n$. Średnica każdego koła wynosi $\frac1n$, więc promień jest równy $r_n=\frac1{2n}$.

Suma obwodów $n^2$ kół wynosi $a_n=n^2\cdot2\pi r_n=n\pi,$ zatem $(a_n)$ jest rosnący.

Suma ich pól wynosi $b_n=n^2\cdot\pi r_n^2=n^2\cdot\frac{\pi}{4n^2}=\frac\pi4,$ zatem $(b_n)$ jest stały.

Stałe przesunięcia zapewniają nierówności między ciągami, a znak przy $\frac1n$ wyznacza monotoniczność.

a) Można przyjąć $a_n=1-\frac1n,\qquad b_n=3-\frac1n,\qquad c_n=5-\frac1n.$

b) Można przyjąć $a_n=1-\frac1n,\qquad b_n=3-\frac1n,\qquad c_n=5+\frac1n.$

c) Można przyjąć $a_n=1-\frac1n,\qquad b_n=3+\frac1n,\qquad c_n=5+\frac1n.$ W każdym przypadku $a_n<b_n<c_n$ dla wszystkich $n\ge1$.

a)

a) Różnica kolejnych wyrazów wynosi $a_{n+1}-a_n=2n-17.$ Jest ujemna dla $n\le8$ i dodatnia dla $n\ge9$, więc ciąg najpierw maleje, a potem rośnie. Nie jest monotoniczny.

b) Dla $b_n=a_{n+t}$ mamy $b_{n+1}-b_n=2(n+t)-17.$ Różnica ma być dodatnia dla każdego $n\ge1$. Najmniejszą jej wartość otrzymujemy przy $n=1$, więc $2(t+1)-17>0\iff t>7{,}5.$ Najmniejsza dodatnia liczba naturalna spełniająca warunek to $t=8$.

$n$-ty licznik ma postać $2\cdot10^n-1$, a mianownik $10^{n+1}-5=5(2\cdot10^n-1).$ Zatem dla każdego $n\ge1$ $a_n=\frac{2\cdot10^n-1}{5(2\cdot10^n-1)}=\frac15.$ Wszystkie wyrazy są więc równe.