MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 138

Badamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$; wszystkie mianowniki są dodatnie.

a) $a_n=2+\frac1{n+1}$, więc $a_{n+1}-a_n=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}<0.$

b) $a_n=6-\frac{17}{n+2}$, więc $a_{n+1}-a_n=\frac{17}{(n+2)(n+3)}>0.$

c) $a_n=-3+\frac{25}{n+5}$, więc $a_{n+1}-a_n=\frac{-25}{(n+5)(n+6)}<0.$

d) $a_n=-7-\frac{22}{n+4}$, więc $a_{n+1}-a_n=\frac{22}{(n+4)(n+5)}>0.$

W każdym przykładzie sprawdzamy, że każdy kolejny wyraz jest nie większy od poprzedniego.

a) $4,4,4,3,3,2$.

b) $0,0,0,0,-1,-2$.

c) $1,\frac12,\frac12,\frac12,\frac12,\frac13$.

Dla pierwszego ciągu

a) $a_{n+1}-a_n=-2n-7<0.$

b)

Upraszczamy ułamek od środka: $a_n=\frac{2n+1}{3n+2}.$ Różnica kolejnych wyrazów wynosi

Pole $n$-tego prostokąta jest równe $P_n=\left(1+\frac1n\right)\left(1-\frac1n\right)=1-\frac1{n^2}.$ Dla $n\ge2$: $P_{n+1}-P_n=\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}>0.$

a) Z $a_{n+1}>3+a_n$ wynika $a_{n+1}-a_n>3>0$.

b) Ponieważ $a_n>1>0$, mamy $2a_n>a_n$. Zatem $a_{n+1}>2a_n>a_n$.

c) Dla $a_n>1$ zachodzi $a_n^2>a_n$. Stąd $a_{n+1}>a_n^2>a_n$.

Kąty $\theta_n=\frac{45^\circ}{n}$ są dodatnie, nie większe niż $45^\circ$ i maleją wraz z $n$.

a) Tangens jest ściśle rosnący na $[0^\circ,45^\circ]$, więc $\tan\theta_n$ maleje.

b) Cosinus jest ściśle malejący jako funkcja kąta na tym przedziale. Gdy $\theta_n$ maleje, $\cos\theta_n$ rośnie.

c) Sinus jest ściśle rosnący na tym przedziale, więc $\sin\theta_n$ maleje.