MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 137

Rozkładamy licznik i mianownik wzoru na $b_n$: $b_n=\frac{(n+1)(n+2)}{(n+1)(n+5)}=\frac{n+2}{n+5}.$ Dla każdego $n\ge1$ zachodzi $b_{n+2}=\frac{n+4}{n+7}=a_n,$ więc każdy wyraz ciągu $(a_n)$ występuje w ciągu $(b_n)$.

Dla $n\ge3$ mamy $b_n=a_{n-2}$. Pozostają $b_1=\frac12$ i $b_2=\frac47$. Tymczasem $a_n=1-\frac3{n+7}\ge a_1=\frac58$, zatem te dwa wyrazy nie występują w ciągu $(a_n)$.

Pierwsze trzy wyrazy to $x_1=p+1,\qquad x_2=q,\qquad x_3=p+q+1.$ Dla $n\ge3$ wyraz $x_n$ jest sumą wszystkich wcześniejszych wyrazów. Suma wyrazów do $x_n$ jest więc równa $2x_n$, a stąd $x_{n+1}=2x_n$. Zatem $x_{100}=2^{97}x_3=2^{97}(p+q+1).$ Warunek $x_{100}=2^{100}$ daje $p+q+1=8$.

a) Parabola $f_n(x)=x^2+nx+n-1$ ma wierzchołek dla $x=-\frac n2$. Jej najmniejsza wartość wynosi

a) Korzystamy z $\tan\theta=1\iff\theta=\frac\pi4+k\pi$:

Pierwsze wyrazy to $a_1=5$ i $a_2=13$, więc tworzą parę liczb pierwszych.

Jeżeli $n\ge3$ jest nieparzyste, to modulo $5$ mamy $3^n\equiv(-2)^n=-2^n$, zatem $a_n=2^n+3^n\equiv0\pmod5.$ Ponieważ $a_n>5$, taki wyraz jest złożony. Każda para kolejnych numerów inna niż $(1,2)$ zawiera nieparzysty numer co najmniej $3$, więc nie może składać się z dwóch liczb pierwszych.

Ze skanu strony odczytujemy punkt wykresu $(2,6)$. Zatem $6=f(2)=a\cdot2(2-3)(2-5)=6a,$ czyli $a=1$ i $a_n=n(n-3)(n-5).$ Dla $n=8$ mamy $a_8=8\cdot5\cdot3=120$. Dla $n\ge5$ wszystkie trzy czynniki są nieujemne i rosną, więc $a_n>120$ dokładnie dla $n\ge9$. Bezpośrednie sprawdzenie $n=1,\ldots,7$ nie daje dodatkowych rozwiązań.

a) $a_n=6n-5-n^2=4-(n-3)^2,$ więc największa wartość to $4$ dla $n=3$.

b) $a_n=16+4n-n^2=20-(n-2)^2,$ więc największa wartość to $20$ dla $n=2$.

c) Wartości powtarzają się co $6$ numerów. Maksimum funkcji cosinus wynosi $1$ i jest osiągane, gdy $\frac{\pi n}{3}=2k\pi$, czyli $n=6k$.