MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 136

Numery wybieranych wyrazów zapisujemy kolejno jako $2n$, $2n-1$, $7n$ i $n^2$.

a) $b_n=a_{2n}=2(2n)+1=4n+1$.

b) $c_n=a_{2n-1}=2(2n-1)+1=4n-1$.

c) $d_n=a_{7n}=2(7n)+1=14n+1$.

d) $e_n=a_{n^2}=2n^2+1$.

Średnia pierwszych $k$ wyrazów wynosi $k+10$, więc ich suma jest równa $S_k=k(k+10).$ Dla $k\ge2$: $a_k=S_k-S_{k-1}=k(k+10)-(k-1)(k+9)=2k+9.$ Ten sam wzór daje także $a_1=11$. Podstawiając $k=1,2,\ldots,10$, otrzymujemy kolejne liczby nieparzyste od $11$ do $29$.

a) Ciąg jest rosnący. Z nierówności $6n-11<130<6(n+1)-11$ otrzymujemy $22{,}5<n<23{,}5$, więc $n=23$. Istotnie $a_{23}=127$ i $a_{24}=133$.

b) Dla rozpatrywanych numerów ciąg jest rosnący. Warunek $n^2-5n+1<100<(n+1)^2-5(n+1)+1$ spełnia $n=12$; mamy $a_{12}=85$ i $a_{13}=105$.

c) Zapis $a_n=4+\frac3{2n-1}$ pokazuje, że ciąg jest malejący. Obliczamy $a_3=\frac{23}{5}=4{,}6,\qquad a_4=\frac{31}{7}\approx4{,}43,$ zatem $a_3>4{,}5>a_4$.

Dla $n>2$ kąt wewnętrzny foremnego $n$-kąta ma miarę $\alpha_n=\frac{(n-2)180^\circ}{n}=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}.$ Zaokrąglenie wynosi $179^\circ$, gdy $178{,}5^\circ\le\alpha_n<179{,}5^\circ.$ Po podstawieniu wzoru dostajemy $240\le n<720.$ Są to wszystkie całkowite numery od $240$ do $719$.

a) Punkty wykresu mają współrzędne $(n,n^2-8n+12)$. Szukamy $n^2-8n+12>1\iff n^2-8n+11>0.$ Pierwiastki trójmianu to $4\pm\sqrt5$, więc dla dodatnich całkowitych $n$ nierówność zachodzi przy $n=1$ oraz $n\ge7$.

b) Wartość $\cos\frac{\pi n}{2}$ powtarza cykl $0,-1,0,1$. Zatem dla nieparzystych $n$ mamy $a_n=0$, dla $n\equiv2\pmod4$ mamy $a_n=-n$, a dla $n\equiv0\pmod4$ mamy $a_n=n$. Warunek $a_n>1$ spełniają dokładnie dodatnie wielokrotności $4$.

Punkty wspólne wykresów funkcji spełniają $f(x)=g(x)$: