MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 135

W każdym podpunkcie obliczamy $a_{n+1}-a_n$.

a) $b_n=[-13(n+1)+5]-(-13n+5)=-13.$

b) $b_n=[-6(n+1)^2+(n+1)-5]-(-6n^2+n-5)=-12n-5.$

c) $b_n=\frac{2}{n+3}-\frac{2}{n+2}=\frac{-2}{(n+2)(n+3)}.$

d) $b_n=\frac{n+1}{n+6}-\frac{n}{n+5}=\frac{5}{(n+5)(n+6)}.$

e) Najpierw $a_n=\frac{1}{(n+3)(n+4)}$, więc

Wyrazy o tym samym numerze mają różnić się o $1$, zatem $|a_n-b_n|=|(n^2+6n-1)-(n^2+5n+30)|=|n-31|=1.$ Stąd $n-31=1$ albo $n-31=-1$, czyli $n=32$ albo $n=30$.

a) $0{,}01n-28=-18\iff 0{,}01n=10\iff n=1000.$

b)

Upraszczamy wzór: $a_n=\frac{(n-5)/2}{(n+5)/3}=\frac{3(n-5)}{2(n+5)}.$ Gdyby $a_n=-\frac12$, to $3(n-5)=-(n+5)\iff4n=10\iff n=\frac52,$ co nie jest dodatnią liczbą naturalną.

Dla wartości $\frac12$ mamy $3(n-5)=n+5\iff2n=20\iff n=10.$ Po podstawieniu $a_{10}=\frac12$.

Dla nieparzystych $n$: $n^2-7n+10=(n-2)(n-5)=0.$ Spośród $n=2,5$ warunek nieparzystości spełnia tylko $n=5$.

Dla parzystych $n$: $(n^2-4)(n-3)=(n-2)(n+2)(n-3)=0.$ Jedynym dodatnim parzystym rozwiązaniem jest $n=2$.

Oba ciągi są rosnące, więc wystarczy znaleźć pierwszy wyraz większy od $1000$.

a) $6n-7>1000\iff n>\frac{1007}{6}=167\frac56.$ Pierwszy taki numer to $168$, zatem największym numerem, który można pominąć, jest $m=167$.

b) $2^n-22>1000\iff2^n>1022.$ Ponieważ $2^9=512$, a $2^{10}=1024$, pierwszy odpowiedni numer to $10$, więc $m=9$.

Rozwiązujemy nierówność dla $n\in\mathbb N_+$ i $n\ne27$:

a) Ciąg jest dodatni i malejący. Rozwiązujemy $\frac6{n+5}<0{,}01\iff600<n+5\iff n>595.$ Pierwszym odpowiednim numerem jest $596$, więc $m=595$.

b) Dla $n\ge1$ wyrazy są dodatnie. Mamy