MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 134

a) Kolejne dodatnie wykładniki dają naprzemiennie $-1$ i $1$.

b) Kolejne liczby nieparzyste większe od $7$ to $9,11,13,15,17,19$. Ich reszty z dzielenia przez $5$ wynoszą $4,1,3,0,2,4$.

c) Wypisujemy rosnąco liczby, których cyfry sumują się do $3$: najpierw $3$, potem $12,21,30$, a następnie $102,111$.

d) Ponieważ

$\frac5{11}=0{,}\overline{45},$

cyfry na miejscach nieparzystych są równe $4$, a na parzystych $5$. Miejsce $13.$ jest nieparzyste.

Szukamy dodatniego całkowitego numeru $n$ spełniającego

$\frac{2n+18}{n+3}=x.$

Dla $x\neq2$ otrzymujemy

$n=\frac{18-3x}{x-2}.$

Podstawienie kolejnych kandydatów daje:

$x=3\Rightarrow n=9,$ $x=4\Rightarrow n=3,$ $x=5\Rightarrow n=1.$

Dla $x=2$ równanie prowadzi do sprzeczności $18=6$, więc liczba $2$ nie jest wyrazem ciągu.

Ze skanu odczytujemy, że pierwsza figura ma $9$ patyczków i $6$ kulek. Każda następna powstaje przez dołączenie z prawej strony kolejnego modułu z trójkątów, co wymaga $6$ nowych patyczków i $3$ nowych kulek.

a) Liczba patyczków wynosi

$a_n=9+6(n-1)=6n+3.$

b) Liczba kulek wynosi

$b_n=6+3(n-1)=3n+3.$

Ciąg zawiera wszystkie liczby całkowite od $m$ do $2m$ włącznie.

a) Po podstawieniu kolejnych wartości $m$ otrzymujemy:

$m=3:\quad3,4,5,6,$ $m=4:\quad4,5,6,7,8,$ $m=5:\quad5,6,7,8,9,10.$

Dla $m=13$ ciąg ma $13+1=14$ wyrazów. Dwa środkowe mają numery $7$ i $8$:

$a_7=13+6=19,\qquad a_8=13+7=20.$

a) $a_7=14$, $a_{10}=23$, $a_6=11$, $a_9=20$, zatem

=\frac{37}{2}-\frac{31}{3}=\frac{49}{6}=8\frac16.$$ **b)** $$a_3=\frac23\cdot6^3=144,\qquad a_5=\frac23\cdot6^5=5184,$$ $$w=\sqrt{144\cdot5184}=864.$$ **c)** $a_6=2$, $a_4=3$, $a_3=4$, więc $$w=\frac12+\frac13+\frac14=\frac{13}{12}=1\frac1{12}.$$ **d)** $a_1=5$, $a_{10}=2$, $a_2=4$, $a_4=3$, zatem $$w=\frac{5+2}{4+3}=1.$$

a) Między $a_{15}$ i $a_{19}$ znajdują się $a_{16},a_{17},a_{18}$:

$188,200,212.$

Ich średnia wynosi $\frac{188+200+212}{3}=200$.

b) Między $a_9$ i $a_{14}$ znajdują się

$a_{10}=90,\quad a_{11}=110,\quad a_{12}=132,\quad a_{13}=156.$

Ich średnia wynosi $\frac{90+110+132+156}{4}=122$.

c) Bierzemy wyrazy o numerach $23,24,25,26$:

$-\frac{\sqrt3}{2},\quad0,\quad\frac{\sqrt3}{2},\quad\frac{\sqrt3}{2}.$

Ich średnia wynosi

$\frac14\left(-\frac{\sqrt3}{2}+0+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{\sqrt3}{8}.$