MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 133

Ze skanu odczytujemy, że pierwsza figura ma $6$ patyczków i $6$ kulek, a każda kolejna powstaje przez dołożenie $5$ patyczków i $4$ kulek. Dla figury numer $n$ otrzymujemy więc

$P_n=6+5(n-1)=5n+1,$ $K_n=6+4(n-1)=4n+2.$

a)

$P_{10}=51,\quad K_{10}=42,$ $P_{20}=101,\quad K_{20}=82.$

b) $5n+1=96$, zatem $n=19$ i $K_{19}=4\cdot19+2=78$.

c) $4n+2=50$, zatem $n=12$ i $P_{12}=5\cdot12+1=61$.

Wyraz ogólny ma postać $a_n=\left\lceil\frac{24}{n}\right\rceil$.

a)

a_{20}=\left\lceil1{,}2\right\rceil=2,\qquad a_{300}=\left\lceil0{,}08\right\rceil=1.$$ **b)** Wartości zmieniają się tylko dla początkowych mianowników; kolejno otrzymujemy $$24,12,8,6,5,4,4,3,3,3,3,2,\ldots,2,1,1,\ldots$$ Zbiór różnych wartości to $\{1,2,3,4,5,6,8,12,24\}$. **c)** Warunek $\left\lceil\frac{24}{n}\right\rceil=2$ jest równoważny $$1<\frac{24}{n}\leqslant2,$$ czyli $12\leqslant n<24$. Jest to $12$ numerów.

Dla każdego $n$ mamy

$a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=10$

oraz

$a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=10.$

Po odjęciu równości otrzymujemy $a_n=a_{n+3}$, więc ciąg jest okresowy z okresem $3$.

Ponieważ $77\equiv2\pmod3$, mamy $a_2=a_{77}=5$. Z warunku sumy:

$a_3=10-a_1-a_2=10-1-5=4.$

Liczba $777$ jest podzielna przez $3$, zatem $a_{777}=a_3$.

W kolumnie numer $j$ od lewej liczba górna i dolna są równe odpowiednio

$G_j=13+(j-1)=j+12,$ $D_j=77+(50-j)=127-j.$

a) $G_{12}=24$ i $D_{12}=115$.

b) $G_j=50$ daje $j=38$, więc $D_{38}=89$.

c) $D_j=100$ daje $j=27$, więc $G_{27}=39$.

d) W każdej kolumnie suma wynosi

$G_j+D_j=(j+12)+(127-j)=139.$

Kolumn jest $50$, zatem suma wszystkich liczb to $50\cdot139=6950$.

Po wykonaniu kroków od $A_2$ do $A_{90}$ pozostają liczby ze zbioru $\{1,2,\ldots,100\}$, które nie są podzielne przez żadną liczbę od $2$ do $90$.

Liczba $1$ pozostaje zawsze. Każda liczba złożona od $2$ do $100$ ma dzielnik właściwy nieprzekraczający $90$, więc zostaje wcześniej usunięta. Usunięte zostają też wszystkie liczby pierwsze nieprzekraczające $90$.

Jedyną liczbą pierwszą między $91$ a $100$ jest $97$. Nie jest ona podzielna przez żadną liczbę od $2$ do $90$, więc również pozostaje.