MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 132

Ze skanu wynika, że figura numer $n$ jest kwadratem o boku $n+2$. Dokładnie trzech sąsiadów mają pola brzegowe niebędące narożnikami. Na każdym z czterech boków jest ich $n$, czyli liczba niebieskich pól wynosi $4n$.

a) Dla $n=10$ mamy $4\cdot10=40$ niebieskich pól.

b) Figura numer $20$ ma $(20+2)^2=484$ pola, w tym $4\cdot20=80$ niebieskich. Niezamalowanych pól jest

$484-80=404.$

c) W figurze numer $n$ liczba niezamalowanych pól jest równa

$(n+2)^2-4n=n^2+4.$

Warunek $n^2+4=200$ daje $n^2=196$, więc $n=14$.

Niech cyfra setek będzie równa $h$. Wtedy cyfry dziesiątek i jedności mają sumę $13-h$. Dla $h=1,2,\ldots,9$ liczby dopuszczalnych par cyfr wynoszą kolejno

$7,8,9,10,9,8,7,6,5.$

Ich suma to $69$, więc ciąg ma nieparzystą liczbę wyrazów, a środkowy jest wyrazem numer $35$.

W porządku malejącym liczby o cyfrze setek $9,8,7,6$ zajmują łącznie

$5+6+7+8=26$

miejsc. Liczby z cyfrą setek $5$ i sumą pozostałych cyfr równą $8$ to malejąco

$580,571,562,553,544,535,526,517,508.$

Dziewiąta z nich zajmuje miejsce $26+9=35$.

Wyraz ogólny ma postać

$a_n=13+7(n-1)=7n+6.$

a) Jedynymi dodatnimi liczbami mniejszymi od $300$ zawierającymi co najmniej dwa zera są $100$ i $200$. Żadna z nich nie ma postaci $7n+6$. Natomiast

$7n+6=300\iff n=42,$

więc pierwszą liczbą z dwoma zerami jest $a_{42}=300$.

b)

$a_{13}=7\cdot13+6=97,$ $a_{14}=104.$

Zatem $97$ jest największym wyrazem dwucyfrowym.

Ponieważ $t=10^{10}$, mamy

$t^t=(10^{10})^{10^{10}}=10^{10\cdot10^{10}}=10^{10^{11}}.$

Zatem

$\frac1{t^t}=10^{-10^{11}}.$

W rozwinięciu dziesiętnym tej liczby po przecinku występuje $10^{11}-1$ zer, a następnie cyfra $1$. Jedynym niezerowym wyrazem ciągu jest więc wyraz o numerze $10^{11}$.

W każdym bloku sześciu kolejnych liczb do ciągu należą cztery liczby, o resztach $0,2,3,4$ modulo $6$.

a) Pierwsze dwa bloki dają osiem wyrazów: $2,3,4,6,8,9,10,12$. Kolejne to $14$ i $15$, więc $a_{10}=15$.

Po $25$ pełnych blokach mamy $4\cdot25=100$ wyrazów, a ostatnią liczbą jest $6\cdot25=150$. Zatem $a_{100}=150$.

b) Dwucyfrowych wielokrotności $2$ jest $45$, a wielokrotności $3$ jest $30$. Wielokrotności $6$, policzonych dwukrotnie, jest $15$. Z zasady włączeń i wyłączeń:

$45+30-15=60.$

Wypisywane liczby powtarzają się w cyklu długości $7$:

$1,4,7,3,6,2,5.$

a) Reszty z dzielenia numerów przez $7$ wskazują miejsce w tym cyklu:

$12\equiv5\pmod7,\qquad60\equiv4\pmod7,\qquad300\equiv6\pmod7.$

Stąd $a_{12}=6$, $a_{60}=3$ i $a_{300}=2$.

b) Jedynki występują na miejscach $1,8,15,\ldots,50$, czyli na miejscach postaci $1+7k$ dla $k=0,1,\ldots,7$. Jest ich $8$.