MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 13

Równanie $\sin\alpha=-\frac12$ ma w podanym przedziale rozwiązania $210^\circ$ i $330^\circ$, zatem $\alpha^*=330^\circ$.

Równanie $\cos\beta=-\frac12$ ma rozwiązania $120^\circ$ i $240^\circ$, więc $\beta^*=240^\circ$.

Niech $\theta=\arctan\frac12$. Dla $\operatorname{tg}\gamma=-\frac12$ większym rozwiązaniem jest $\gamma^*=360^\circ-\theta$. Ponieważ $\operatorname{tg}30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}>\frac12$, mamy $\theta<30^\circ$, a więc $\gamma^*>330^\circ$.

Potęgowanie do nieparzystej potęgi nie zmienia znaku. Zatem

$$\sin\alpha>0,\qquad \cos\alpha<0,$$

czyli $\alpha\in(90^\circ;180^\circ)$.

Z nierówności $\sin^2\beta\cos\beta>0$ wynika $\sin\beta\ne0$ i $\cos\beta>0$. Z kolei $\cos^2\beta\sin\beta<0$ daje $\cos\beta\ne0$ i $\sin\beta<0$. Stąd $\beta\in(270^\circ;360^\circ)$.

Każdy kąt z II ćwiartki jest mniejszy od każdego kąta z IV ćwiartki, zatem $\alpha<\beta$.

Punkt $P=(1,3)$ daje

$$\operatorname{tg}\alpha=3,qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac13.$$

Zatem $Q=(-3,-\frac13)$. Jego odległość od początku układu wynosi

$$|OQ|=\sqrt{9+\frac19}=\frac{\sqrt{82}}3.$$

Korzystając z definicji sinusa i cosinusa, otrzymujemy

$$\sin\beta=\frac{-1/3}{\sqrt{82}/3}=-\frac{\sqrt{82}}{82}, \qquad \cos\beta=\frac{-3}{\sqrt{82}/3}=-\frac{9\sqrt{82}}{82}.$$

Niech $P=(x,y)$ będzie punktem na ramieniu końcowym kąta, a $r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}$. W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $|x|$, $|y|$ i przeciwprostokątnej $r$ każda przyprostokątna jest nie dłuższa od przeciwprostokątnej:

$$|x|\le r,\qquad |y|\le r.$$

Dzieląc przez $r>0$, otrzymujemy

$$|\cos\alpha|=\frac{|x|}{r}\le1,qquad |\sin\alpha|=\frac{|y|}{r}\le1.$$

Dla ramion leżących na osiach nierówności również zachodzą bezpośrednio, bo wartości sinusa i cosinusa należą wtedy do zbioru $\{-1,0,1\}$.

Kąt wewnętrzny $n$-kąta foremnego ma miarę $\alpha_n=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$. Stąd

$$\alpha_{18}=160^\circ,\qquad \alpha_{20}=162^\circ.$$

a) $\alpha_{18}+\alpha_{20}=322^\circ$, więc sinus jest ujemny.

b) $9\alpha_{20}-8\alpha_{18}=178^\circ$, więc cosinus jest ujemny.

c) $14\alpha_{18}-12\alpha_{20}=296^\circ$, więc tangens jest ujemny.

d) $12\alpha_{20}-11\alpha_{18}=184^\circ$, więc cotangens jest dodatni.