MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 12

a) Warunek konieczny $\sin^2\beta+\cos^2\beta=1$ nie zachodzi, ponieważ

$$\left(\frac45\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{5}\right)^2 =\frac{16}{25}+\frac3{25}=\frac{19}{25}\ne1.$$

Taki kąt nie istnieje.

b) Z $\operatorname{tg}\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ wynikałoby

$$\sin\beta=\frac53\cdot\frac45=\frac43>1,$$

co jest niemożliwe.

c) Obliczamy

$$\cos\beta=\frac{\sin\beta}{\operatorname{tg}\beta} =\frac{-4/5}{4/3}=-\frac35.$$

Jedynka trygonometryczna jest spełniona. Ponieważ sinus i cosinus są ujemne, ramię końcowe leży w III ćwiartce.

Dla $\alpha$ w II ćwiartce mamy $\sin\alpha>0$ i $\operatorname{tg}\alpha<0$. Dla $\beta$ w III ćwiartce $\cos\beta<0$ oraz $\operatorname{tg}\beta>0$. Ponadto $\frac\beta2\in(90^\circ;135^\circ)$, więc $\operatorname{ctg}\frac\beta2<0$.

a) Obie strony są dodatnie, ale ich wielkości nie są ustalone. Na przykład dla $\alpha=150^\circ$ i $\beta=225^\circ$ mamy $\sin\alpha=\frac12<1=\operatorname{tg}\beta$. Nierówność nie zachodzi zawsze.

b) Suma liczby dodatniej i ujemnej nie ma stałego znaku. Dla $\alpha=120^\circ$, $\beta=240^\circ$ jest równa $\frac{\sqrt3}{2}-\frac12>0$, więc nierówność nie zachodzi zawsze.

c) Oba składniki są ujemne, zatem ich suma jest ujemna dla każdych dopuszczalnych kątów.

d) Lewa strona jest dodatnia, a prawa ujemna, więc nierówność nigdy nie zachodzi.

Dla $\alpha=30^\circ$ otrzymujemy

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt3}{3},\qquad \operatorname{ctg}8\alpha=\operatorname{ctg}240^\circ=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Ponadto

$$\sin225^\circ\cos315^\circ =\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\frac{\sqrt2}{2}=-\frac12.$$

Zatem

$$\frac{\frac{2\sqrt3}{3}}{-\frac12}=-\frac{4\sqrt3}{3}.$$

Równe wartości sinusa nie wyznaczają jednego ramienia końcowego. Na przykład punkty

$$P=(-1,1),\qquad Q=(-2,2),\qquad R=(1,1)$$

leżą na ramionach kątów odpowiednio $135^\circ$, $135^\circ$ i $45^\circ$. Wszystkie trzy kąty mają sinus równy $\frac{\sqrt2}{2}$, lecz $P,Q$ leżą na prostej $y=-x$, a punkt $R$ do niej nie należy.

Obliczamy współrzędne punktów:

$$P=(2,-4),\qquad Q=(-2,-4).$$

Z definicji tangensa jako ilorazu współrzędnych punktu na ramieniu końcowym,

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{-4}{2}=-2,qquad \operatorname{tg}\beta=\frac{-4}{-2}=2.$$

Stąd $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=-2+2=0$.

Niech $P=(x,y)$ i $r=|OP|$.

a) Z $y=r\sin\alpha$ mamy $y=2\sqrt{10}\cdot\left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)=-6$. W IV ćwiartce $x>0$, a więc

$$x=\sqrt{r^2-y^2}=\sqrt{40-36}=2.$$

b) Analogicznie $x=r\cos\alpha=3\sqrt{10}\cdot\left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)=-9$. W III ćwiartce $y<0$, zatem

$$y=-\sqrt{r^2-x^2}=-\sqrt{90-81}=-3.$$

c) Mamy $\frac{x}{y}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$, $x<0$, $y>0$ oraz $x^2+y^2=190$. Po podstawieniu $x=-\frac{3\sqrt{10}}{10}y$ otrzymujemy

$$\frac9{10}y^2+y^2=190,qquad y^2=100.$$

Stąd $y=10$ i $x=-3\sqrt{10}$.

Dobieramy punkty na ramionach końcowych zgodne ze znakiem podanej funkcji.

a) Dla $\sin\alpha=\frac12$ ramię leży w I albo II ćwiartce. Otrzymujemy

$$(\cos\alpha,\operatorname{tg}\alpha,\operatorname{ctg}\alpha) =\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{3},\sqrt3\right)$$

lub wszystkie trzy wartości z przeciwnymi znakami.

b) Z $\cos\alpha=\frac35$ wynika $|\sin\alpha|=\frac45$. Ramię leży w I albo IV ćwiartce, więc

$$(\sin\alpha,\operatorname{tg}\alpha,\operatorname{ctg}\alpha) =\left(\frac45,\frac43,\frac34\right)$$

lub $\left(-\frac45,-\frac43,-\frac34\right)$.

c) Dla $\operatorname{tg}\alpha=3$ wybieramy punkty $(1,3)$ i $(-1,-3)$. Ponieważ $r=\sqrt{10}$, dostajemy

$$(\sin\alpha,\cos\alpha,\operatorname{ctg}\alpha) =\left(\frac{3\sqrt{10}}{10},\frac{\sqrt{10}}{10},\frac13\right)$$

lub $\left(-\frac{3\sqrt{10}}{10},-\frac{\sqrt{10}}{10},\frac13\right)$.

d) Dla $\operatorname{ctg}\alpha=-5$ wybieramy punkty $(-5,1)$ i $(5,-1)$. Stąd

$$(\sin\alpha,\cos\alpha,\operatorname{tg}\alpha) =\left(\frac{\sqrt{26}}{26},-\frac{5\sqrt{26}}{26},-\frac15\right)$$

lub $\left(-\frac{\sqrt{26}}{26},\frac{5\sqrt{26}}{26},-\frac15\right)$.