MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 14

Ramiona końcowe pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy różnica miar kątów jest całkowitą wielokrotnością $360^\circ$.

a) $1940^\circ-1220^\circ=720^\circ=2\cdot360^\circ$ — tak.

b) $1850^\circ-1680^\circ=170^\circ$ — nie.

c) $4680^\circ-3960^\circ=720^\circ$ — tak.

d) $3034^\circ-2544^\circ=490^\circ$ — nie.

e) $-1775^\circ-(-3115^\circ)=1340^\circ$ — nie.

f) $-940^\circ-(-2380^\circ)=1440^\circ=4\cdot360^\circ$ — tak.

Punkt $(5,-5)$ leży na ramieniu kąta $315^\circ$. Wszystkie szukane kąty są więc postaci

$$\beta=315^\circ+360^\circ k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Dobierając $k$ do kolejnych przedziałów, otrzymujemy:

a) $k=-2$, więc $\beta=-405^\circ$;

b) $k=5$, więc $\beta=2115^\circ$;

c) $k=8$, więc $\beta=3195^\circ$.

W każdym podpunkcie odejmujemy taką całkowitą wielokrotność pełnego kąta, aby reszta należała do $\langle0^\circ;360^\circ)$:

a) $592^\circ=1\cdot360^\circ+232^\circ$.

b) $1445^\circ=4\cdot360^\circ+5^\circ$.

c) $-595^\circ=-2\cdot360^\circ+125^\circ$.

d) $1124{,}5^\circ=3\cdot360^\circ+44{,}5^\circ$.

e) $-2579{,}8^\circ=-8\cdot360^\circ+300{,}2^\circ$.

f) $1862^\circ40'=5\cdot360^\circ+62^\circ40'$.

g) $1232^\circ12'=3\cdot360^\circ+152^\circ12'$.

h) $-1354^\circ22'=-4\cdot360^\circ+85^\circ38'$.

Sprowadzamy kąty do przedziału jednego pełnego obrotu.

a)

$$\sin1125^\circ\cos3015^\circ\operatorname{tg}750^\circ\operatorname{ctg}2100^\circ =\frac{\sqrt2}{2}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) \frac{\sqrt3}{3}\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac16.$$

b)

$$\cos45^\circ+\sin135^\circ+\operatorname{ctg}30^\circ+ \operatorname{tg}300^\circ =\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}+\sqrt3-\sqrt3=\sqrt2.$$

Korzystamy z okresowości funkcji trygonometrycznych:

a) $\operatorname{ctg}1530^\circ=\operatorname{ctg}90^\circ=0$.

b) $\cos2580^\circ=\cos60^\circ=\frac12$.

c) $\operatorname{tg}2220^\circ=\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$.

d) $\operatorname{tg}3780^\circ=\operatorname{tg}180^\circ=0$.

e) $\sin(-1035^\circ)=\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$.

f) $\sin(-690^\circ)=\sin30^\circ=\frac12$.

g) $\cos(-1755^\circ)=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$.

h) $\operatorname{ctg}(-3270^\circ)=\operatorname{ctg}(-30^\circ)=-\sqrt3$.

Szukany obrót jest najmniejszą nieujemną resztą różnicy $\gamma-\beta$ przy dzieleniu przez $360^\circ$.

a) $2200^\circ-1460^\circ=740^\circ\equiv20^\circ$.

b) $1430^\circ-2050^\circ=-620^\circ\equiv100^\circ$.

c) $2100^\circ-3200^\circ=-1100^\circ\equiv340^\circ$.

d) $4342^\circ-942^\circ=3400^\circ\equiv160^\circ$.

Sprowadzamy kąty do przedziału jednego obrotu:

$$420^\circ\equiv60^\circ,\quad -675^\circ\equiv45^\circ,\quad 1950^\circ\equiv150^\circ,\quad -2580^\circ\equiv300^\circ.$$

Wybieramy po dwa dodatnie wielokrotności wektora kierunkowego każdego ramienia.

W ciągu godziny wskazówka godzinowa obraca się o $30^\circ$, a minutowa o $360^\circ$, czyli dwanaście razy więcej.

a) Wskazówka minutowa obróciła się o

$$12\cdot155^\circ=1860^\circ.$$

b) Czas ruchu wynosi

$$\frac{155^\circ}{30^\circ/\mathrm h}=\frac{31}{6}\mathrm h =5\mathrm h\ 10\mathrm{min}.$$

Po dodaniu tego czasu do 15.00 otrzymujemy 20.10.