MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 129

Obliczamy po kolei sześć podanych wartości.

a) Potęgi liczby $-1$ zmieniają znak naprzemiennie:

$-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1.$

b) Dla $n=1,2,\ldots,6$ wartość $|4-n|$ jest równa kolejno:

$3,\ 2,\ 1,\ 0,\ 1,\ 2.$

c) Dzieląc $12$ przez kolejne mianowniki, otrzymujemy:

$12,\ 6,\ 4,\ 3,\ \frac{12}{5},\ 2.$

Wybieramy, tak jak w przykładzie z klucza, $a_1=2$ i $a_2=5$.

a) Każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich:

$a_3=2+5=7,$ $a_4=5+7=12,$ $a_5=7+12=19,$ $a_6=12+19=31.$

b) Każdy następny wyraz jest iloczynem dwóch poprzednich:

$a_3=2\cdot5=10,$ $a_4=5\cdot10=50,$ $a_5=10\cdot50=500,$ $a_6=50\cdot500=25\,000.$

a)

$3\longrightarrow3^3=27\longrightarrow2^3+7^3=351$ $\longrightarrow3^3+5^3+1^3=153\longrightarrow1^3+5^3+3^3=153.$

b)

$18\longrightarrow1^3+8^3=513\longrightarrow5^3+1^3+3^3=153,$

a liczba $153$ prowadzi ponownie do $153$.

c)

$24\longrightarrow2^3+4^3=72\longrightarrow7^3+2^3=351\longrightarrow153,$

po czym ciąg pozostaje równy $153$.

Oznaczmy środkową z pięciu kolejnych liczb przez $n$. Liczby te mają postać

$n-2,\ n-1,\ n,\ n+1,\ n+2,$

więc ich suma jest równa $5n$. Z warunku zadania:

$5n=8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12=95\,040,$ $n=19\,008.$

Ostatnią liczbą jest $n+2$.

$n$-ty wyraz ma postać

$a_n=n(n+1)(n+2),\qquad n\geqslant1.$

Różnica kolejnych wyrazów wynosi

$a_{n+1}-a_n=(n+1)(n+2)(n+3)-n(n+1)(n+2),$ $a_{n+1}-a_n=3(n+1)(n+2).$

Jest ona podzielna przez $3$ dla każdego $n$, natomiast $1000$ nie jest podzielne przez $3$. Równość $a_{n+1}-a_n=1000$ jest więc niemożliwa, co kończy dowód.

Jeżeli $n=5q+r$, gdzie $r\in\{0,1,2,3,4\}$, to używamy $q$ żetonów pięciozłotowych, a resztę wypłacamy minimalnie odpowiednio za pomocą $0,1,1,2,2$ żetonów. Zatem

$a_n=q+c_r,\qquad (c_0,c_1,c_2,c_3,c_4)=(0,1,1,2,2).$

a) Dla $n=1,2,\ldots,20$ otrzymujemy:

$1,1,2,2,1,\ 2,2,3,3,2,\ 3,3,4,4,3,\ 4,4,5,5,4.$

b) Równość $q+c_r=6$ zachodzi dla $n=23,24,26,27,30$, czyli pięć razy.

c) $68=5\cdot13+3$, więc $a_{68}=13+2=15$.

d) $a_{39}=7+2=9$, natomiast $a_{40}=8$.

e) Najwcześniej wartość $10$ występuje dla $n=5\cdot8+3=43$.