MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 124

Odcinek $AM$ jest połową przekątnej kwadratu. Jego kwadrat długości wynosi

$|AM|^2=(1-3)^2+(3+5)^2=4+64=68.$

Jeżeli $d$ oznacza przekątną, to $d=2|AM|$. Pole kwadratu jest zatem równe

$P=\frac{d^2}{2}=\frac{4|AM|^2}{2}=2\cdot68=136.$

Obraz punktu $A=(-3,5)$ względem początku układu to $B=(3,-5)$. Zatem

$|AB|=\sqrt{(3+3)^2+(-5-5)^2}=\sqrt{36+100}=2\sqrt{34}.$

Mamy

$-3\vec u=[9,-15].$

Ponieważ $\overrightarrow{AB}=B-A$, to

$A=B-\overrightarrow{AB}=(-4,7)-[9,-15]=(-13,22).$

Prosta $y=3x$ przechodzi przez początek i ma wektor kierunkowy $\vec v=[1,3]$. Rzut punktu $A=(-18,10)$ na tę prostą, czyli środek odcinka $AB$, jest równy

=\frac{-18+30}{10}[1,3] =\left(\frac65,\frac{18}{5}\right).$$ Ponieważ $H=\frac{A+B}{2}$, otrzymujemy $$B=2H-A=\left(\frac{102}{5},-\frac{14}{5}\right).$$

Prosta przez $A=(7,-1)$ o współczynniku kierunkowym $p$ ma równanie

$px-y-7p-1=0.$

Aby była styczna do okręgu o środku $O=(0,0)$ i promieniu $\sqrt{10}$, jej odległość od $O$ musi spełniać

$\frac{|7p+1|}{\sqrt{p^2+1}}=\sqrt{10}.$

Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy

$39p^2+14p-9=0,$

stąd $p=\frac13$ lub $p=-\frac9{13}$. Ponieważ obie współrzędne punktu $C$ są ujemne, bok $AC$ leży na pierwszej z tych prostych:

$AC:\ x-3y-10=0,$

natomiast podstawa ma równanie

$AB:\ 9x+13y-50=0.$

Oś symetrii $CO$ jest prostopadła do $AB$ i przechodzi przez początek, więc ma równanie $13x-9y=0$. Jej przecięcie z $AC$ daje

$C=\left(-3,-\frac{13}{3}\right).$

Punkt $B$ jest odbiciem punktu $A$ względem osi $CO$. Dla wektora kierunkowego osi $[9,13]$ rzut punktu $A$ wynosi

=\left(\frac95,\frac{13}{5}\right).$$ Zatem $$B=2H-A=\left(-\frac{17}{5},\frac{31}{5}\right).$$

Oś symetrii ma równanie $y=x+2$. Odbicie punktu $B=(0,8)$ względem tej prostej daje

$D=(6,2).$

Odbicie względem $AC$ zachowuje okrąg opisany, więc jego środek leży na $AC$. Punkty $A$ i $C$ są zatem końcami średnicy. Z twierdzenia Talesa $\angle ABC=90^\circ$.

Prosta $AB$ ma współczynnik kierunkowy

$\frac{32-8}{30-0}=\frac45,$

więc prosta $BC$, prostopadła do $AB$ i przechodząca przez $B$, ma równanie

$y=-\frac54x+8.$

Punkt $C$ leży również na $y=x+2$. Rozwiązujemy układ:

$x+2=-\frac54x+8,$

stąd $x=\frac83$ i $y=\frac{14}{3}$.