MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 130

a) Każda dodatnia liczba naturalna $k$ występuje w tablicy jako ułamek $\frac{k}{1}$, a czerwona krzywa przechodzi przez każde pole.

b) Jeżeli dodatnia liczba wymierna ma postać $\frac pq$, to tę samą wartość dają ułamki

$\frac pq=\frac{2p}{2q}=\frac{3p}{3q}=\ldots,$

więc pojawia się ona nieskończenie wiele razy.

c) Po przejściu pól kwadratu $6\times6$ zapisano $6^2=36$ wyrazów. Na kolejnej części krzywej występują kolejno $\frac17$, $\frac27$, $\frac37$, zatem szukany ułamek jest wyrazem numer $36+3=39$.

Między wyrazami $a_i$ i $a_j$, gdzie $i<j$, znajdują się wyrazy o numerach $i+1,\ldots,j-1$. Jest ich $j-i-1$.

a) $25-17-1=7$.

b) $349-325-1=23$.

c) $n-100-1=n-101$.

d) $200-k-1=199-k$.

e) $2t-t-1=t-1$.

f) $5n-2n-1=3n-1$.

g) $(5m+1)-(3m+2)-1=2m-2$.

Pierwszą taką liczbą jest $3$, a kolejne otrzymujemy przez dodanie $5$. Stąd

$a_n=3+5(n-1)=5n-2.$

Zatem

$a_4=5\cdot4-2=18,$ $a_{100}=5\cdot100-2=498.$

Wszystkich liczb dwucyfrowych jest $99-10+1=90$.

Sześciany większe od $1$ i nieprzekraczające $99$ to $8$, $27$ i $64$. Każda wielokrotność $64$ jest już wielokrotnością $8$, więc wystarczy wykluczyć wielokrotności $8$ lub $27$.

Dwucyfrowych wielokrotności $8$ jest

$\left\lfloor\frac{99}{8}\right\rfloor-\left\lfloor\frac9{8}\right\rfloor=12-1=11,$

a wielokrotności $27$ są trzy: $27,54,81$. W tym zakresie nie ma wspólnej wielokrotności $8$ i $27$, gdyż $\operatorname{NWW}(8,27)=216$.

Pozostaje $90-11-3=76$ liczb.

Każdą nową prostą prowadzimy tak, aby przecięła wszystkie wcześniejsze proste w różnych punktach wewnątrz kwadratu. $n$-ta prosta tworzy wtedy $n$ nowych części, więc

$a_n=1+1+2+\ldots+n=1+\frac{n(n+1)}2.$

a)

$a_5=1+\frac{5\cdot6}{2}=16,$ $a_6=1+\frac{6\cdot7}{2}=22.$

b) Jedenasta prosta dodaje $11$ części, zatem

$a_{11}=a_{10}+11=56+11=67.$