MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 123

Wektor $\overrightarrow{AS}=[6,6]$, więc przekątna $AC$ ma długość

$|AC|=2|AS|=12\sqrt2.$

Przekątna $BD$ jest prostopadła do $AC$, zatem prosta $BS$ ma równanie $y=-x+5$. Punkt $B$ leży też na prostej $y=3x-3$, więc

$3x-3=-x+5,$

stąd $B=(2,3)$. Mamy $\overrightarrow{BS}=[3,-3]$ co do wartości bezwzględnych, zatem $|BD|=2|BS|=6\sqrt2$. Pole rombu wynosi

$P=\frac{|AC|\cdot|BD|}{2}=\frac{12\sqrt2\cdot6\sqrt2}{2}=72.$

Pierwszą prostą zapisujemy jako $3x-4y-24=0$. Dla prostej równoległej $3x-4y+C=0$ odległość wynosi

$d=\frac{|C+24|}{5}.$

Dla odpowiedzi A mamy $C=-4$, więc $d=\frac{20}{5}=4$, czyli liczbę całkowitą. W pozostałych odpowiedziach otrzymujemy odpowiednio $\frac{26}{5}$, $\frac{27}{5}$ i $\frac{32}{5}$.

W równaniu okręgu współrzędne środka są przeciwne do połówek współczynników przy $x$ i $y$:

$S=\left(-\frac{\sqrt7}{2},\frac{\sqrt{15}}2\right).$

Pierwsza współrzędna jest ujemna, a druga dodatnia, więc środek leży w II ćwiartce.

Drugi okrąg ma postać

$(x+3)^2+(y-4)^2=9,$

więc jego środek to $O=(-3,4)$, a promień $R=3$. Odległość środków jest równa

$|OS|=\sqrt{(-1+3)^2+(2-4)^2}=2\sqrt2.$

Przy styczności wewnętrznej $|R-r|=2\sqrt2$, zatem $r=3\pm2\sqrt2$. Warunek $r<\frac{29}{5}$ wyklucza wartość $3+2\sqrt2$.

Po podstawieniu $x=4$ do równania okręgu otrzymujemy

$y^2=100-(4+2a)^2.$

Dwa różne punkty wspólne istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona jest dodatnia:

$|4+2a|<10,$ $-10<4+2a<10,$ $-7<a<3.$

Długość cięciwy okręgu o promieniu $R$, oddalonej od środka o $d$, jest równa $2\sqrt{R^2-d^2}$.

Dla pierwszej prostej odległość od początku układu wynosi $\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$, więc

$a=2\sqrt{100-10}=6\sqrt{10}.$

Dla drugiej prostej odległość wynosi $\frac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5$, zatem

$b=2\sqrt{100-20}=8\sqrt5.$

Wobec tego

$\frac ab=\frac{6\sqrt{10}}{8\sqrt5}=\frac{3\sqrt2}{4}.$

Na skanie strony 123 zacieniowany jest obszar wewnątrz okręgu o środku $(3,0)$ i promieniu $3$, położony poniżej przerywanego wykresu $y=|x-3|$.

Warunek koła ma postać

$(x-3)^2+y^2\leqslant9,$

czyli po uproszczeniu

$x^2-6x+y^2\leqslant0.$

Przerywana linia oznacza nierówność ostrą $y<|x-3|$.

Punkt $P$ dzieli odcinek $AB$ w stosunku $AP:PB=2:1$, więc

$P=A+\frac23\overrightarrow{AB}.$

Ponieważ $\overrightarrow{AB}=[12,-9]$, mamy

$P=(-4,6)+\frac23[12,-9]=(4,0).$

Zatem

$\overrightarrow{PA}=A-P=[-8,6].$

Środki okręgów to odpowiednio $(1,1)$ i $(-1,-1)$, a ich promienie są równe $1$. Symetria względem początku układu przekształca $(-1,-1)$ w $(1,1)$, nie zmieniając promienia.