MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 122

Odbicie względem prostej $x=1$ nie zmienia współrzędnej $y$. Obrazy punktów $A$ i $B$ mają współrzędne

$A_1=(4,-6),\qquad B_1=(5,5).$

Cztery punkty tworzą trapez o równoległych podstawach długości

$|-2-4|=6,\qquad |-3-5|=8.$

Odległość między prostymi zawierającymi podstawy, czyli $y=-6$ i $y=5$, wynosi $11$. Pole trapezu jest zatem równe

$P=\frac{6+8}{2}\cdot11=77.$

Oś symetrii ma równanie $2x-y+1=0$. Dla punktu $(x,y)$ oznaczmy

$q=\frac{2x-y+1}{2^2+(-1)^2}.$

Jego obraz ma współrzędne $(x-4q,y+2q)$. Dla punktów $A$ i $B$ otrzymujemy odpowiednio

$A_1=(5,6),\qquad B_1=(4,-1).$

W porządku $A,A_1,B_1,B$ pole czworokąta liczymy ze wzoru Gaussa:

$P=\frac12\left|1\cdot6+5\cdot(-1)+4\cdot3+(-4)\cdot8-\left(8\cdot5+6\cdot4+(-1)\cdot(-4)+3\cdot1\right)\right|=45.$

Po przesunięciu o wektor $[1,2]$ mamy

$P'=(x+1,y+2).$

a) Symetria względem osi $OX$ zmienia znak drugiej współrzędnej:

$P''=(x+1,-y-2).$

b) Symetria względem osi $OY$ zmienia znak pierwszej współrzędnej:

$P''=(-x-1,y+2).$

W każdym podpunkcie wybieramy cztery przystające części złożone łącznie z szesnastu małych kwadratów.

a) Prowadzimy obie przekątne dużego kwadratu. Powstają cztery przystające trójkąty równoramienne prostokątne; każdy ma jedną oś symetrii i nie ma środka symetrii.

b) Dzielimy kwadrat trzema pionowymi odcinkami wzdłuż linii siatki. Każda część jest prostokątem $1\times4$, ma dwie osie symetrii i środek symetrii.

c) Prowadzimy pionową i poziomą linię środkową. Każda część jest kwadratem $2\times2$, ma cztery osie symetrii i środek symetrii.

d) Dzielimy siatkę na cztery przystające tetromina w kształcie litery L i układamy je wiatraczkowo. Tetromino L nie ma ani osi, ani środka symetrii.

Odbicie względem osi $y=0$ daje pozostałe wierzchołki trapezu:

$C=(-7,3),\qquad D=(-10,2).$

Symetria względem początku układu przekształca $(x,y)$ w $(-x,-y)$. Stąd

$A'=(10,2),\quad B'=(7,3),\quad C'=(7,-3),\quad D'=(10,-2).$

Obraz prostej wyznaczamy, podstawiając do jej równania współrzędne obrazu odwrotnego.

a) Dla symetrii względem osi $OX$ podstawiamy $y\mapsto-y$:

$2x+y+1=0.$

b) Dla symetrii względem osi $OY$ podstawiamy $x\mapsto-x$ i mnożymy równanie przez $-1$:

$2x+y-1=0.$

c) Dla symetrii względem początku podstawiamy $(x,y)\mapsto(-x,-y)$ i mnożymy przez $-1$:

$2x-y-1=0.$

W symetrii środkowej względem $C$ punkty $A$ i $A'$ oraz $B$ i $B'$ leżą parami po przeciwnych stronach punktu $C$. Zatem $C$ jest punktem przecięcia i wspólnym środkiem przekątnych $AA'$ oraz $BB'$ czworokąta $ABA'B'$.

Czworokąt jest równoległobokiem, a jego przekątne dzielą go na cztery trójkąty o równych polach. Trójkąt $ABC$ jest jednym z nich, więc

$P_{ABA'B'}=4\cdot20\ \text{cm}^2=80\ \text{cm}^2.$

W symetrii środkowej względem $P(-4,-6)$ punkt $(x,y)$ przechodzi na $(-8-x,-12-y)$. Podstawiamy te współrzędne do równania prostej $k$:

$3(-8-x)-2(-12-y)+16=0,$ $-3x+2y+16=0.$

Zatem obrazem prostej $k$ jest

$m:\ 3x-2y-16=0.$

Z kolei symetria względem początku układu przekształca równanie prostej $k$ w

$3(-x)-2(-y)+16=0,$

czyli po pomnożeniu przez $-1$ właśnie w równanie $m$. Symetria środkowa jest przekształceniem odwrotnym do siebie, więc równocześnie przekształca $m$ z powrotem w $k$. Teza została wykazana.