MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 121

a) Z pierwszego równania mamy $y=x-9$. Po podstawieniu do drugiego:

$2(x-4)^2=0,$

zatem $(x,y)=(4,-5)$. Prosta ma z okręgiem $(x-2)^2+(y+3)^2=8$ jeden punkt wspólny, więc jest do niego styczna.

b) Z równania prostej $y=5-2x$. Po podstawieniu:

$5x(x-6)=0.$

Otrzymujemy punkty $(0,5)$ i $(6,-7)$, więc prosta jest sieczną okręgu $(x-1)^2+(y+2)^2=50$.

c) Z równania prostej $x=2y+5$. Wstawienie do równania okręgu daje

$5y(y+2)=0.$

Punkty wspólne to $(5,0)$ i $(1,-2)$, zatem prosta jest sieczną okręgu $(x-3)^2+(y+1)^2=5$.

d) Niech $t=|x-1|\geqslant0$. Wtedy $y=t$, a równanie okręgu ma postać

$t^2+(t-2)^2=10,$ $t^2-2t-3=0.$

Jedyną dopuszczalną wartością jest $t=3$, więc $x-1=\pm3$. Wykres $y=|x-1|$ przecina okrąg w punktach $(-2,3)$ i $(4,3)$.

e) Pierwsze równanie opisuje sumę dwóch prostych: $x+y=0$ lub $x+y=1$. Dla $y=-x$ równanie okręgu sprowadza się do

$2x(x-1)=0,$

natomiast dla $y=1-x$ otrzymujemy $2x^2-4x+3=0$, które nie ma pierwiastków rzeczywistych. Okrąg przecina więc tylko pierwszą z prostych, w punktach $(0,0)$ i $(1,-1)$.

f) Parabola ma postać $y=(x-1)^2-1$. Dla $t=(x-1)^2\geqslant0$ równanie okręgu daje

$t+(t-1)^2=13,$ $t^2-t-12=0.$

Stąd $t=4$, więc $x=-1$ lub $x=3$ oraz $y=3$. Parabola przecina okrąg w dwóch punktach.

a) Uzupełniamy kwadraty:

$(x-5)^2+(y-6)^2\leqslant1.$

Jest to koło o środku $(5,6)$ i promieniu $1$.

b) Nierówność ma postać

$(x+2)^2+(y+2)^2\leqslant0,$

więc jej jedynym rozwiązaniem jest punkt $(-2,-2)$, a nie koło o dodatnim promieniu.

c) Otrzymujemy

$x^2+(y+2)^2\leqslant-1,$

czyli zbiór pusty.

d) Po uzupełnieniu kwadratu:

$\left(x-\frac32\right)^2+y^2<\frac94.$

Brzeg nie należy do zbioru, więc jest to wnętrze koła bez okręgu brzegowego, a nie koło.

Uzupełniamy kwadraty:

$x^2-4x+y^2+6y\leqslant a,$ $(x-2)^2+(y+3)^2\leqslant a+13.$

Zbiór jest niepusty wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona jest nieujemna:

$a+13\geqslant0.$

a) Nierówność jest równoważna

$(x-1)^2+y^2\leqslant a^2.$

Dla $a=0$ opisuje punkt $(1,0)$, a dla $a\neq0$ — koło o promieniu $|a|$.

b) Po uzupełnieniu kwadratu mamy

$x^2+(y-1)^2\leqslant |a-3|-1.$

Prawa strona jest dodatnia dla $a<2$ lub $a>4$, równa zeru dla $a\in\{2,4\}$ i ujemna dla $2<a<4$.

Kolejne równe części odcinka mają ten sam wektor:

$\overrightarrow{BC}=[0-(-2),-1-(-3)]=[2,2].$

Zatem

$A=B-\overrightarrow{BC}=(-2,-3)-(2,2)=(-4,-5),$ $D=C+\overrightarrow{BC}=(0,-1)+(2,2)=(2,1).$

Mamy

$\vec t=k[-2,1]+[1,3]=[1-2k,3+k].$

a) Równoległość do osi $OX$ wymaga $3+k=0$, więc $k=-3$.

b) Prostopadłość do osi $OX$ wymaga $1-2k=0$, więc $k=\frac12$.

c) Wektor równoległy do prostej $y=x$ ma równe współrzędne:

$1-2k=3+k,$

stąd $k=-\frac23$.

d) Warunek długości daje

$(1-2k)^2+(3+k)^2=49,$ $5k^2+2k-39=0.$

Zatem $k=\frac{13}{5}$ lub $k=-3$.

Punkty dzielące przekątną $AC$ w stosunku $2:1$ to $(-1,3)$ i $(1,5)$, a punkty dzielące przekątną $BD$ w tym stosunku to $(1,3)$ i $(-1,5)$.

Każdy z tych czterech punktów może być obrazem dowolnego z czterech wierzchołków. Odejmując od współrzędnych punktu docelowego współrzędne przesuwanego wierzchołka, otrzymujemy szesnaście wektorów:

$$\begin{aligned} &[2,4],[4,4],[2,2],[4,2],\\ &[-4,4],[-2,4],[-2,2],[-4,2],\\ &[-4,-2],[-2,-2],[-2,-4],[-4,-4],\\ &[2,-2],[4,-2],[4,-4],[2,-4]. \end{aligned}$$

Niech $P=(x,y)$ leży na pierwszej prostej. Jego obraz względem osi $OX$ ma współrzędne $P'=(x,-y)$ i leży na drugiej prostej. Otrzymujemy więc układ

$$\begin{cases} 3x+y=5,\\ 2x+y=4. \end{cases}$$

Po odjęciu równań mamy $x=1$, a następnie $y=2$. Zatem $P=(1,2)$ i $P'=(1,-2)$.