MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 120

Odległość środka $S$ od prostej wynosi

$$d=\frac{|3\cdot1-5\cdot4-51|}{\sqrt{34}}=2\sqrt{34}.$$

Najdalszy punkt okręgu jest odległy od tej prostej o $d+r$. Ponieważ $\sqrt{306}=3\sqrt{34}$, mamy

$$2\sqrt{34}+r=3\sqrt{34},\qquad r=\sqrt{34}.$$

Niech środek ma współrzędne $S=(a,0)$. Warunek styczności daje

$$\frac{|3a-4|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10},\qquad |3a-4|=10.$$

Stąd $a=-2$ lub $a=\frac{14}{3}$.

Odległość danych prostych wynosi $\frac5{\sqrt2}$, więc okrąg styczny do obu ma promień

$$r=\frac5{2\sqrt2},\qquad r^2=\frac{25}{8},$$

a jego środek leży na prostej środkowej $x-y+\frac52=0$. Zapiszmy $S=(h,h+\frac52)$. Warunek przechodzenia przez $A=(0,1)$ ma postać

$$h^2+\left(h+\frac32\right)^2=\frac{25}{8},$$

czyli $16h^2+24h-7=0$. Stąd $h=\frac14$ lub $h=-\frac74$.

W obu układach prosta ma przecinać okrąg w dwóch punktach, więc jej odległość od środka musi być mniejsza od promienia $5\sqrt2$.

Dla układu I środek to $(-3,-3)$, zatem

$$\frac{|k-6|}{\sqrt2}<5\sqrt2,\qquad -4<k<16.$$

Dla układu II środek to $(4,4)$, więc

$$\frac{|k+8|}{\sqrt2}<5\sqrt2,\qquad -18<k<2.$$

Częścią wspólną tych przedziałów jest $(-4;2)$.

Obszar między wykresami jest rombem

$$|x|+|y|\le4,$$

czyli częścią wspólną półpłaszczyzn $\pm x\pm y\le4$. Środek okręgu to $(k,2k)$. Aby cały okrąg o promieniu $1$ mieścił się w każdej półpłaszczyźnie, musi zachodzić

$$|k|+|2k|+\sqrt{1^2+1^2}\le4.$$

Zatem $3|k|+\sqrt2\le4$, czyli $|k|\le\frac{4-\sqrt2}{3}$.

Niech szukany okrąg ma promień $R$, a odległość jego środka od początku układu wynosi $d$. Warunki styczności z okręgami o promieniach $2$ i $6$ dają

$$d\in\{R+2,|R-2|\},\qquad d\in\{R+6,|R-6|\}.$$

Możliwe są dwa przypadki: $R=2$, $d=4$ oraz $R=4$, $d=2$. Środek $(a,-a)$ ma odległość $d=\sqrt2|a|$ od początku układu. Otrzymujemy więc $a=\pm2\sqrt2$ dla $R=2$ oraz $a=\pm\sqrt2$ dla $R=4$.

Dla pierwszego okręgu środek to $S_1=(-2,1)$, promień $r_1=5$, a odległość środka od prostej wynosi

$$d_1=\frac{|4(-2)+3-20|}{5}=5=r_1.$$

Prosta jest więc styczna do pierwszego okręgu. Dla drugiego okręgu $S_2=(7,2)$ i $r_2=\sqrt8$, natomiast

$$d_2=\frac{|28+6-20|}{5}=\frac{14}{5}<\sqrt8.$$

Prosta przecina drugi okrąg w dwóch punktach.

Oś symetrii trapezu wpisanego w okrąg przechodzi przez środek $(-1,-2)$ i jest równoległa do $y=x$, więc ma równanie $y=x-1$.

Punkty ramienia $AB$ otrzymujemy z układu

$$\begin{cases} (x+1)^2+(y+2)^2=25,\\ x+3y+22=0. \end{cases}$$

Są to $A=(-1,-7)$ i $B=(-4,-6)$. Odbicie względem $y=x-1$ ma postać $(x,y)\mapsto(y+1,x-1)$, zatem $D=(-6,-2)$ i $C=(-5,-5)$. Przekątne parametryzujemy:

$$AC=(-1,-7)+t(-4,2),\qquad BD=(-4,-6)+s(-2,4).$$

Porównanie współrzędnych daje $t=\frac56$ i $s=\frac16$, a więc punkt przecięcia ma współrzędne $\left(-\frac{13}{3},-\frac{16}{3}\right)$.

Po sprowadzeniu równań do postaci kanonicznej środki okręgów to

$$S_1=(3,7),\qquad S_2=(-3,1).$$

Odejmując równania okręgów, dostajemy prostą wspólnej cięciwy $x+y=8$. Po podstawieniu do pierwszego równania:

$$x^2-4x+3=0,$$

więc punkty przecięcia to $P=(1,7)$ i $Q=(3,5)$. Przekątne czworokąta $S_1PS_2Q$ są prostopadłe i mają długości

$$|S_1S_2|=6\sqrt2,\qquad |PQ|=2\sqrt2.$$

Pole wynosi zatem

$$\frac12\cdot6\sqrt2\cdot2\sqrt2=12.$$