MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 119

Z warunku na odległość punktów otrzymujemy

$$25+(9m+21)^2<169,$$

czyli $|9m+21|<12$. Zatem

$$-12<9m+21<12,\qquad -\frac{11}{3}<m<-1.$$

Mamy $\overrightarrow{AB}=(3,2)$ i $\overrightarrow{BC}=(k,1-2k)$.

a) Trzy kolejne wierzchołki wyznaczają równoległobok, o ile nie są współliniowe. Wyznacznik wektorów wynosi

$$3(1-2k)-2k=3-8k,$$

więc $k\ne\frac38$.

b) Równoległobok jest rombem, gdy sąsiednie boki mają tę samą długość:

$$13=k^2+(1-2k)^2,\qquad 5k^2-4k-12=0.$$

Stąd $k=-\frac65$ lub $k=2$.

c) Dodatkowo boki kwadratu są prostopadłe:

$$(3,2)\cdot(k,1-2k)=2-k=0.$$

Spośród wartości z podpunktu b) warunek spełnia tylko $k=2$.

Z własności odcinka łączącego środki dwóch boków trójkąta mamy

$$\overrightarrow{KL}=\frac12\overrightarrow{AC}=(5,-2).$$

Analogicznie, w trójkącie $CDA$,

$$\overrightarrow{MN}=\frac12\overrightarrow{CA}=(-5,2).$$

Wektory są przeciwne i mają długość $\sqrt{29}$, zatem $|KL|=|MN|$ niezależnie od położenia punktu $D$.

Środek odcinka $AB$ ma współrzędne

$$M=\left(\frac{10-t}{2},\frac t2\right).$$

Dla każdej dopuszczalnej wartości $t$ zachodzi

$$x_M+y_M=\frac{10-t+t}{2}=5.$$

Wszystkie środki leżą więc na jednej prostej.

Czwarty wierzchołek kwadratu to

$$D=A+C-B=(5,8).$$

Wektor $\overrightarrow{AC}=(12,-4)$ jest równoległy do obu prostych. Proste przez $B$ i $D$ mają więc równania

$$x+3y+11=0,\qquad x+3y-29=0.$$

Ich odległość wynosi

$$\frac{|11-(-29)|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{40}{\sqrt{10}}=4\sqrt{10}.$$

Długości boków wynoszą

$$|AB|=10,\qquad |BC|=5,\qquad |AC|=\sqrt{97}.$$

Niewymierną długość ma bok $AC$. Pole z wyznacznika wektorów $\overrightarrow{AB}=(8,6)$ i $\overrightarrow{AC}=(4,9)$ jest równe

$$P=\frac12|8\cdot9-6\cdot4|=24.$$

Z równania $24=\frac12\sqrt{97}\,h$ otrzymujemy

$$h=\frac{48}{\sqrt{97}}=\frac{48\sqrt{97}}{97}.$$

Pole jest liczbą wymierną.

Punkt przecięcia środkowych to środek ciężkości

$$P=\left(\frac83,\frac{11}{3}\right).$$

Proste zawierające boki mają równania

$$AB\colon4x+y-23=0,\quad BC\colon x-3y+17=0,\quad AC\colon3x+4y-14=0.$$

Odległości punktu $P$ od tych prostych są równe

$$d_{AB}=\frac{26}{3\sqrt{17}},\qquad d_{BC}=\frac{26}{3\sqrt{10}},\qquad d_{AC}=\frac{26}{15}.$$

Ponieważ $5>\sqrt{17}>\sqrt{10}$, otrzymujemy żądaną kolejność.

Wektory $\overrightarrow{AB}=(4,6)$ i $\overrightarrow{BC}=(-6,4)$ są prostopadłe i mają tę samą długość, więc $A,B,C$ są kolejnymi wierzchołkami. Czwarty wierzchołek to

$$D=A+C-B=(-6,0).$$

Bok kwadratu ma długość $2\sqrt{13}$, a przekątna $2\sqrt{26}$. Każdy okrąg ma być styczny do okręgu o środku w przeciwległym wierzchołku i przecinać dwa okręgi sąsiednie. Zatem $2r=2\sqrt{26}$, czyli $r^2=26$.

Uzupełniamy kwadrat:

$$x^2+(y-p)^2=p^2-1.$$

Z założenia $|p|>1$ wynika $p^2-1>0$, więc jest to okrąg o środku $(0,p)$ i promieniu $r=\sqrt{p^2-1}$. Odległość środka od osi $OX$ wynosi $|p|$, przy czym

$$|p|>\sqrt{p^2-1}=r.$$

Oś $OX$ leży zatem na zewnątrz okręgu, więc nie ma z nim punktów wspólnych.

Środki okręgów i ich promienie to

$$S_1=(k-1,3k+2),\quad r_1=5,$$ $$S_2=(4k-1,2-k),\quad r_2=10.$$

Odległość środków wynosi

$$d=\sqrt{(3k)^2+(-4k)^2}=5|k|.$$

Okręgi mają jeden punkt wspólny przy styczności zewnętrznej $d=15$ albo wewnętrznej $d=5$. Stąd $|k|=3$ albo $|k|=1$.