MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 11

Dla punktu $P=(x,y)$ na ramieniu końcowym kąta przyjmujemy $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

a) Z $\operatorname{tg}\alpha=\frac13$ otrzymujemy dwie możliwości: $P_1=(3,1)$ albo $P_2=(-3,-1)$. W obu przypadkach $r=\sqrt{10}$, więc

$$\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt{10}}{10},\qquad \cos\alpha=\pm\frac{3\sqrt{10}}{10},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=3,$$

przy czym znaki sinusa i cosinusa są jednocześnie dodatnie albo jednocześnie ujemne.

b) Z $\operatorname{ctg}\alpha=2$ możemy wybrać $P_1=(2,1)$ albo $P_2=(-2,-1)$. Ponieważ $r=\sqrt5$,

$$\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt5}{5},\qquad \cos\alpha=\pm\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac12.$$

c) Mamy $\sin\alpha=0{,}8=\frac45$, zatem możemy wybrać $P_1=(3,4)$ albo $P_2=(-3,4)$. Stąd

$$\cos\alpha=\pm\frac35,qquad \operatorname{tg}\alpha=\pm\frac43,qquad \operatorname{ctg}\alpha=\pm\frac34,$$

gdzie w pierwszej możliwości wszystkie znaki są dodatnie, a w drugiej ujemne.

a) W II ćwiartce współrzędne punktu na ramieniu spełniają $x<0$, $y>0$. Ponieważ $\sin\alpha=\frac25$, możemy przyjąć $r=5$ i $y=2$. Wtedy

$$x=-\sqrt{r^2-y^2}=-\sqrt{25-4}=-\sqrt{21}.$$

Ramię końcowe kąta prowadzimy więc przez punkt $(-\sqrt{21},2)$.

b) W III ćwiartce obie współrzędne są ujemne. Warunek $\operatorname{tg}\alpha=6$ spełnia na przykład punkt $(-1,-6)$, bo $\frac{-6}{-1}=6$. Ramię końcowe kąta prowadzimy przez ten punkt.

a) Kąt ma miarę $120^\circ$. Punkt na jego ramieniu może mieć współrzędne $(-1,\sqrt3)$, zatem $r=2$.

$$\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos\alpha=-\frac12,\quad \operatorname{tg}\alpha=-\sqrt3,\quad \operatorname{ctg}\alpha=-\frac{\sqrt3}{3}.$$

b) Jest to kąt $210^\circ$. Dla punktu $(-\sqrt3,-1)$ mamy $r=2$, więc

$$\sin\alpha=-\frac12,\quad \cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt3}{3},\quad \operatorname{ctg}\alpha=\sqrt3.$$

c) Punkt $(1,-1)$ leży na ramieniu kąta $315^\circ$ i ma odległość $\sqrt2$ od początku układu. Stąd

$$\sin\alpha=-\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2},\quad \operatorname{tg}\alpha=-1,\quad \operatorname{ctg}\alpha=-1.$$

Sprowadzamy każdy kąt do kąta z przedziału $\langle0^\circ;360^\circ)$ i uwzględniamy ćwiartkę.

a) $225^\circ=180^\circ+45^\circ$, więc

$$\sin225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2},\quad \operatorname{tg}225^\circ=1,\quad \operatorname{ctg}225^\circ=1.$$

b) $300^\circ=360^\circ-60^\circ$, zatem

$$\sin300^\circ=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos300^\circ=\frac12,\quad \operatorname{tg}300^\circ=-\sqrt3,\quad \operatorname{ctg}300^\circ=-\frac{\sqrt3}{3}.$$

c) $240^\circ=180^\circ+60^\circ$, więc

$$\sin240^\circ=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos240^\circ=-\frac12,\quad \operatorname{tg}240^\circ=\sqrt3,\quad \operatorname{ctg}240^\circ=\frac{\sqrt3}{3}.$$