MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 118

Okrąg $K$ ma środek $S=(2,-4)$ i promień $6$. Niech $S'$ będzie środkiem jego obrazu w symetrii względem punktu $P$. Symetria zachowuje promień, a obrazowy okrąg przechodzi przez $S$, więc

$$|SS'|=6.$$

Punkt $P$ jest środkiem odcinka $SS'$, zatem $|PS|=3$. Wszystkie takie punkty $P$ tworzą okrąg o środku $S$ i promieniu $3$.

Prosta $AD$ ma nachylenie $2$. Aby obie części były trójkątami równoramiennymi lub trapezami równoramiennymi, cięcie musi być prostopadłe do $AD$, zatem

$$l\colon y=-2x+b.$$

Jej przecięcia z prostymi zawierającymi podstawy $AB$ i $CD$ mają współrzędne

$$E\left(\frac{b-2}{2},2\right),\qquad F\left(\frac{b-6}{2},6\right).$$

Warunki $E\in AB$ i $F\in CD$ dają odpowiednio $-4\le b\le12$ oraz $4\le b\le20$, czyli $4\le b\le12$. W tym zakresie obie części mają oś symetrii; ich równoległe podstawy różnią się długością o $4$, więc nie są środkowosymetryczne. Dla wartości krańcowych jedną z części jest trójkąt równoramienny.

Niech środkiem symetrii będzie $P=(p,q)$. Obraz prostej $ax+by=c$ w symetrii względem $P$ ma równanie

$$ax+by=2ap+2bq-c.$$

a) Obie proste zapisujemy jako $2x-3y=1$ i $2x-3y=0$. Stąd

$$4p-6q-1=0.$$

b) Proste mają równania $x+5y=2$ oraz $x+5y=20$. Zatem

$$2p+10q-2=20,\qquad p+5q-11=0.$$

W symetrii względem $S=(a,b)$ punkt $(u,v)$ przechodzi na $(x,y)$, gdzie $u=2a-x$ i $v=2b-y$. Podstawiamy te zależności do równań danych krzywych.

a) $4-y=(-2-x)^2+1$, więc $y=-x^2-4x-1$.

b) $-2-y=-(6-x)^2+1$, więc $y=x^2-12x+33$.

c) $-2-y=\frac{1}{10-x}$, więc $y=\frac{1}{x-10}-2$.

d) $8-y=\frac{2}{-4-x}+1$, więc $y=\frac{2}{x+4}+7$.

Jeśli środkiem symetrii jest $S=(a,b)$, to we wzorach figury $F$ podstawiamy $u=2a-x$ i $v=2b-y$.

a) Dla $S=(0,0)$ otrzymujemy

$$\begin{cases} y\le0,\\ y\ge x^2-4,\\ x^2+(y+2)^2\ge1. \end{cases}$$

b) Dla $S=(0,-1)$ otrzymujemy

$$\begin{cases} y\le-2,\\ y\ge x^2-6,\\ x^2+(y+4)^2\ge1. \end{cases}$$

c) Dla $S=(2,2)$ otrzymujemy

$$\begin{cases} y\le4,\\ y\ge(x-4)^2,\\ (x-4)^2+(y-2)^2\ge1. \end{cases}$$

Ze skanu odczytujemy cztery pary punktów przeciwnych względem $A_8$:

$$(A_1,A_4),\quad(A_2,A_5),\quad(A_3,A_6),\quad(A_7,A_9).$$

Zatem tylko $A_8$ może być dziewiątym punktem, czyli środkiem symetrii. Ustalamy jeden czworokąt z pary tak, aby zawierał $A_1$; jego obraz jest już jednoznacznie wyznaczony. Cztery czworokąty mają postać $A_1A_2A_iA_j$, gdzie $i\in\{3,6\}$ i $j\in\{7,9\}$, a dwa dalsze to $A_1A_5A_6A_7$ i $A_1A_5A_6A_9$. Dla każdego z zestawów $\{A_1,A_5,A_3,A_7\}$ i $\{A_1,A_5,A_3,A_9\}$ istnieją po trzy różne poprawne kolejności połączenia wierzchołków. Otrzymujemy więc

$$4+2+3+3=12$$

par czworokątów.