MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 115

W symetrii względem początku układu współrzędnych punkt $(x,y)$ przechodzi na $(-x,-y)$. Zmieniamy więc znaki obu współrzędnych każdego punktu.

Obrazem punktu $(x,y)$ jest punkt $(-x,-y)$, zatem:

Zaznaczamy te punkty i łączymy je kolejno odcinkami $A'B'$, $B'C'$, $C'D'$ i $D'A'$.

Dwa punkty są symetryczne względem $O(0,0)$, gdy ich odpowiednie współrzędne są liczbami przeciwnymi. Otrzymujemy:

W każdym podpunkcie wybieramy punkt $S$ we wskazanym położeniu. Dla każdego wierzchołka $X$ czworokąta prowadzimy prostą $XS$ i po przeciwnej stronie punktu $S$ zaznaczamy $X'$ tak, aby $SX'=SX$. Po połączeniu obrazów kolejnych wierzchołków otrzymujemy czworokąt symetryczny do wyjściowego.

Punkt $H(4,1)$ jest środkiem symetrii następujących par punktów:

bo środek każdego z odcinków $AD$, $BE$, $CF$ i $IG$ ma współrzędne $(4,1)$. Dobierając z tych czterech par po jednym punkcie do pierwszego czworokąta, otrzymujemy między innymi trzy żądane pary.

Czworokąt ma środek symetrii, jeśli środki obu jego przekątnych są tym samym punktem.

a)

b)

W obu przypadkach symetria względem wspólnego środka przekątnych zamienia $A$ z $C$ oraz $B$ z $D$, więc cały czworokąt przechodzi na siebie.

Względem osi $OX$ współrzędne mają postać $(x,y)$ i $(x,-y)$, względem osi $OY$: $(x,y)$ i $(-x,y)$, a względem początku układu: $(x,y)$ i $(-x,-y)$. Porównanie danych punktów daje odpowiednio:

• względem $OX$: $C(2021,-2030)$ z $G(2021,2030)$ oraz $D(2050,-2021)$ z $F(2050,2021)$;
• względem $OY$: $B(-2021,-2030)$ z $C(2021,-2030)$ oraz $E(-2050,2021)$ z $F(2050,2021)$;
• względem $O$: $B(-2021,-2030)$ z $G(2021,2030)$ oraz $D(2050,-2021)$ z $E(-2050,2021)$.