MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 116

Z podanych symetrii otrzymujemy:

$$A=(-1,6),\qquad B=(4,6),\qquad C=(4,1).$$

Długości boków spełniają:

$$|AB|=5,\qquad |BC|=5,\qquad |AC|=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2.$$

Zatem $|AB|=|BC|$ oraz $|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2$. Trójkąt jest równoramienny i, na mocy odwrotnego twierdzenia Pitagorasa, prostokątny przy wierzchołku $B$.

W symetrii względem początku punkt $(x,y)$ przechodzi na $(-x,-y)$.

a)

$$A'(1,3),\qquad B'(-3,-1),\qquad C'(9,-5).$$

Część wspólna jest czworokątem o kolejnych wierzchołkach $(0,-2)$, $(3,1)$, $(0,2)$, $(-3,-1)$. Ze wzoru Gaussa na pole wielokąta otrzymujemy

$$P=\frac12|12-(-12)|=12.$$

b)

$$A'(3,2),\qquad B'(-3,2),\qquad C'(0,-4).$$

Część wspólna ma kolejne wierzchołki $(-1,-2)$, $(1,-2)$, $(2,0)$, $(1,2)$, $(-1,2)$, $(-2,0)$. Składa się z prostokąta $2\cdot4$ i dwóch trójkątów o podstawie $4$ i wysokości $1$, więc

$$P=8+2\cdot\frac{4\cdot1}{2}=12.$$

Środek przekątnej $BD$ ma współrzędne $(2,1)$. Wektor od tego środka do $B$ wynosi $(3,-3)$, więc końce drugiej przekątnej otrzymujemy przez użycie prostopadłych wektorów $(3,3)$ i $(-3,-3)$. Są to punkty $(5,4)$ i $(-1,-2)$.

Pierwszy kwadrat jest zatem prostokątem współrzędnych

$$[-1;5]\times[-2;4].$$

Po symetrii względem początku drugi kwadrat ma zakres

$$[-5;1]\times[-4;2].$$

Ich część wspólna to prostokąt $[-1;1]\times[-2;2]$ o bokach $2$ i $4$.

Czworokąt mający środek symetrii jest równoległobokiem. Dla kolejnych wierzchołków zachodzi

$$A+C=B+D,\qquad D=A+C-B,$$

a środek symetrii jest środkiem przekątnej $AC$.

a)

$$D=(1,1)+(3,-1)-(-1,-3)=(5,3),\qquad S=\frac{A+C}{2}=(2,0).$$

b)

$$D=(0,4)+(6,2)-(-2,-2)=(8,8),\qquad S=\frac{A+C}{2}=(3,3).$$

W czworokącie środkowosymetrycznym dowolne dwa z trzech danych wierzchołków mogą być końcami jednej przekątnej. Jeżeli jej środek to $S$, czwarty punkt jest obrazem pozostałego wierzchołka $X$, czyli $P=2S-X$.

• Dla przekątnej o końcach $(-3,1)$ i $(3,-1)$ mamy $S=(0,0)$ oraz $P=(5,1)$.
• Dla przekątnej o końcach $(-5,-1)$ i $(3,-1)$ mamy $S=(-1,-1)$ oraz $P=(1,-3)$.
• Dla przekątnej o końcach $(-3,1)$ i $(-5,-1)$ mamy $S=(-4,0)$ oraz $P=(-11,1)$.

a) Środki czterech par przeciwległych wierzchołków są równe:

$$\frac{A+E}{2}=\frac{B+F}{2}=\frac{C+G}{2}=\frac{D+H}{2}=(1,1).$$

Symetria względem $(1,1)$ zamienia więc każdą z tych par, a ośmiokąt ma środek symetrii.

b) Wystarczy porównać dwa kąty wewnętrzne. Dla kąta przy $B$ iloczyn skalarny wektorów $\overrightarrow{BA}=(-2,-1)$ i $\overrightarrow{BC}=(1,2)$ daje cosinus $-\frac45$. Przy $C$ wektory $\overrightarrow{CB}=(-1,-2)$ i $\overrightarrow{CD}=(-1,2)$ dają cosinus $-\frac35$. Kąty nie są równe, więc ośmiokąt nie jest foremny.

W symetrii względem początku podstawiamy do równania prostej $x\mapsto -x$ i $y\mapsto -y$. Dla równania $Ax+By=C$ otrzymujemy więc $Ax+By=-C$.

a) i b) Proste przechodzą przez początek, zatem przechodzą na siebie.

c) $2x+y=-1$, czyli $y=-2x-1$.

d) $3x-4y=-2$, czyli $y=\frac34x+\frac12$.

Niech $S=(h,k)$. Punkt $(x,y)$ przechodzi na $(X,Y)=(2h-x,2k-y)$, więc $x=2h-X$ i $y=2k-Y$. Po podstawieniu do $4x+2y=1$ dostajemy

$$4X+2Y=8h+4k-1,$$

czyli

$$Y=-2X+4h+2k-\frac12.$$

Podstawiamy kolejno współrzędne środka $S$.