MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 114

Okrąg ma środek $S=(5,-1)$ i promień $2$. Odbijamy środek, promień pozostaje bez zmian. Otrzymujemy kolejno środki $(5,1)$, $(-5,-1)$, $(5,-1)$ oraz — z reguły $(x,y)\mapsto(-y,-x)$ — $(1,-5)$.

Osiami symetrii odcinka są prosta zawierająca odcinek oraz jego symetralna. Wyznaczamy pierwszą z wektora $\overrightarrow{AB}$, a drugą jako prostą prostopadłą przechodzącą przez środek odcinka.

Korzystamy z reguł odbicia współrzędnych.

a) Względem $OX$: $a=2a+1$, $b+2=-4$.

b) Względem $OY$: $2a+1=-a$, $b+2=4$.

c) Względem $x=1$: średnia pierwszych współrzędnych jest równa $1$, a drugie są równe.

d) Względem $y=x$: $(2a+1,b+2)=(4,a)$.

Dla prostych nachylonych pod kątem $45^\circ$ stosujemy zamianę odpowiednio przesuniętych współrzędnych. Dla $y=2x$, czyli $2x-y=0$, używamy wzoru na odbicie punktu względem prostej $Ax+By+C=0$: $P'=P-2\frac{Aa+Bb+C}{A^2+B^2}[A,B].$

Prosta $CD$ ma równanie $2x-y-4=0$. Ze wzoru na odbicie punktu względem prostej otrzymujemy $A'=(6,-2)$ i $B'=(6,3)$.

Prosta $AD$ ma równanie $x-3y+8=0$. Odbicie punktów $B,C$ względem tej prostej daje odpowiednio $(3,2)$ i $(-2,7)$.

Prosta $AB$ ma równanie $y=x+5$. Odbicie względem niej przekształca $(x,y)$ w $(y-5,x+5)$. Punkty $A,B$ leżą na osi i pozostają bez zmian; regułę stosujemy do $C,D,E$.

Porównujemy kwadraty długości boków. W a) równe są $AB$ i $BC$, w b) $AB$ i $BC$, w c) $AC$ i $BC$, a w d) wszystkie trzy boki. Oś trójkąta równoramiennego przechodzi przez wspólny wierzchołek równych ramion i środek podstawy; trójkąt równoboczny ma trzy takie osie.

Są dwa możliwe przyporządkowania końców.

Jeśli $A\mapsto P$, osią jest symetralna $AP$, czyli $x=-2$, a odbicie $B$ daje $Q=(-3,5)$.

Jeśli $B\mapsto P$, osią jest symetralna $BP$, czyli $y=x+2$, a odbicie $A$ daje $Q=(-1,-5)$.

Punkt $P$ może być obrazem każdego z trzech wierzchołków. Oś odbicia jest wtedy symetralną odpowiednio odcinka $AP$, $BP$ albo $CP$. Wyznaczenie tych trzech symetralnych daje komplet możliwości.

Proste przecinają się w punkcie $(4,5)$, który pozostaje stały w obu odbiciach.

a) Odbijamy punkt $(0,-3)$ prostej $l$ względem $m$; otrzymujemy $(-\frac{24}{5},\frac{33}{5})$. Prosta przez ten punkt i $(4,5)$ ma równanie $2x+11y-63=0$.

b) Odbicie punktu $(-6,0)$ prostej $m$ względem $l$ daje $(6,-6)$. Prosta przez ten punkt i $(4,5)$ ma równanie $11x+2y-54=0$.