MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 113

Odbicia względem osi $OX$, $OY$ oraz prostych $y=x$ i $y=-x$ zachowują zbiór wierzchołków i boki ośmiokąta. Inna oś musiałaby zamieniać boki długości $2$ z bokami długości $2\sqrt2$, co jest niemożliwe.

Dla osi pionowej $x=c$ stosujemy $(x,y)\mapsto(2c-x,y)$, a dla poziomej $y=c$ regułę $(x,y)\mapsto(x,2c-y)$.

Ponieważ $AC$ jest osią symetrii, $AB=AD$ i $BC=CD$. Z obwodu czworokąta mamy $2(AB+BC)=28$, więc $AB+BC=14$. Obwód trójkąta $ABC$ daje $AB+BC+AC=23$, zatem $AC=23-14=9$ cm.

Wielokąt foremny o $n$ wierzchołkach ma dokładnie $n$ osi symetrii. Wielokąt $W_2$ ma zatem $100$ wierzchołków, a $W_1$ ma ich o jeden mniej.

Z wzoru Herona pole trójkąta o bokach $13,14,15$ wynosi $\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\ \text{cm}^2.$ Ponieważ wysokość $CD=12$, podstawa $AB=14$. Jej odcinki przy wysokości mają długości $5$ i $9$. Po odbiciu wspólna część jest trójkątem równoramiennym o podstawie $10$, wysokości $12$ i ramionach $13$.

Różnica połówek podstaw wynosi $2$, więc z twierdzenia Pitagorasa wysokość trapezu to $\sqrt{(2\sqrt5)^2-2^2}=4$. Prosta $l$ leży w połowie wysokości. Część wspólna składa się z dwóch trapezów o wysokości $2$ i podstawach $4,6$, więc ma pole $2\cdot\frac{4+6}{2}\cdot2=20$.

Przy $l=OX$ i osi symetrii $OY$ przekroje na $y=\pm2$ mają końce $x=\pm2$, a na $y=0$ końce $x=\pm3$.

Na skanie strony znaki rozdzielające trzy wyrazy zostały w OCR pomylone z literą $I$. Dla każdej właściwej litery szyfru odczytujemy dwa odbicia z siatki względem prostych $a$ i $b$, a następnie wybieramy literę tworzącą sensowny napis. Kolejne grupy dają PROSTE, JAK i MATEMATYKA.