MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 112

W czworokącie zapisanym w kolejności $A,B,C,D$ odbicie zamienia $A$ z $D$ oraz $B$ z $C$. Odbijamy więc $B$ i $A$ względem wskazanej osi.

Odbijamy dany wierzchołek kolejno względem osi $OX$, osi $OY$ oraz obu osi. Ponieważ obie osie są osiami symetrii prostokąta, wszystkie otrzymane punkty są jego wierzchołkami.

Symetrie pozostałego brzegu są dokładnie symetriami pary usuniętych boków. Usunięcie boków przeciwległych pozostawia dwie osie symetrii. Dwa boki nieprzeciwległe mają jedną wspólną oś symetrii. Każda para boków foremnego dwunastokąta jest natomiast zamieniana przez co najmniej jedną jego oś symetrii, więc nie można otrzymać figury bez osi.

Symetria względem $OY$ wyznacza brakujące wierzchołki: $F=(1,-4)$, $G=(2,0)$, $H=(1,4)$. Odbicie względem $OX$ zamienia $A$ z $E$, $B$ z $D$, $H$ z $F$, a punkty $C$ i $G$ pozostawia na miejscu. Cały ośmiokąt przechodzi więc na siebie.

Jeżeli cztery wierzchołki leżą na jednym okręgu, wszystkie symetralne boków i przekątnych przechodzą przez środek tego okręgu. Wystarczy więc wybrać czworokąt wpisany w okrąg, który nie jest prostokątem, na przykład o wierzchołkach $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$, $(\frac35,-\frac45)$ na okręgu jednostkowym.

Nie. Oba odcinki leżą na tej samej prostej prostopadłej do $m$ i mają tę samą długość, ale punkty $A,A'$ mogą leżeć po tej samej stronie prostej $m$. Do symetrii potrzeba jeszcze, aby prosta $m$ była symetralną odcinka $AA'$.

Dwa kąty trójkąta leżą przy osi i po sklejeniu symetrycznych połówek zostają podwojone, a trzeci występuje dwa razy. Każdy z kątów $20^\circ$, $60^\circ$, $100^\circ$ może być kątem poza osią. Daje to trzy zestawy, w tym dwa czworokąty wklęsłe z kątem $200^\circ$.

Dla kolejności KOBRA odbicie zbioru wierzchołków nie zachowuje układu boków, więc wielokąt nie ma osi symetrii. W wielokącie KORBA prosta $x=3$ zamienia $K$ z $O$ oraz $A$ z $R$, a punkt $B$ pozostawia na miejscu; innych osi nie ma.