MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 111

Punkt $D=A+\overrightarrow{AD}=(-2,5)$ jest środkiem podstawy. Ponieważ $\overrightarrow{BC}=[-14,2]$, mamy $B=D-\frac12\overrightarrow{BC}=(5,4)$ i $C=D+\frac12\overrightarrow{BC}=(-9,6)$. Równania prostych przez odpowiednie pary punktów otrzymujemy z ich wektorów kierunkowych.

Dla $t=\frac14,\frac12,\frac34$ punkt $M$ leży w części $t$ drogi od $A$ do $B$, a odpowiadający mu $N$ w części $t$ drogi od $D$ do $C$. Dlatego $\overrightarrow{MN}=(1-t)\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{BC}=(1-t)\vec x+t\vec y.$

Wektor $\overrightarrow{CD}=[15,5]$ odpowiada pięciu częściom podziału, zatem jedna część to $[3,1]$. Stąd $\overrightarrow{AC}=[3,1]$ i $\overrightarrow{DB}=[6,2]$. Otrzymujemy $A=C-[3,1]$ oraz $B=D+[6,2]$.

Punkt $C=A+\overrightarrow{AC}=(9,18)$. Wektor $\overrightarrow{AB}=[-3,12]$, więc kierunek prostopadły może być równy $[12,3]$. Prosta wysokości przechodzi przez $C$ i ma nachylenie $\frac14$.

Bok kwadratu ma długość $3\sqrt5$, a bok części wspólnej $\sqrt5$. Rozkładamy przesunięcie na kierunki boków $\overrightarrow{AB}=[-3,6]$ i $\overrightarrow{BC}=[-6,-3]$. Wartość bezwzględna każdej składowej przesunięcia musi skrócić wspólny bok o $2\sqrt5$, czyli odpowiadać $\frac23$ jednego z wektorów boku. Cztery kombinacje znaków dają cztery wektory.

Z $A(-2,-3)$ i $\overrightarrow{AB}=[6,2]$ dostajemy $B=(4,-1)$. Prosta $BD$ ma kierunek $[1,-1]$, a długość $4\sqrt2$, więc $\overrightarrow{BD}=[4,-4]$ albo $[-4,4]$. Otrzymujemy odpowiednio $D=(8,-5)$ lub $(0,3)$, a z równości $A+C=B+D$ punkty $C=(14,-3)$ lub $(6,5)$. W obu przypadkach wartość bezwzględna wyznacznika wektorów boków wynosi $32$.

Niech $A=(x,y)$. Wtedy $B=A+[10,16]$, a $C=B+[-14,-8]=A+[-4,8]$. Środek ciężkości wynosi $P=\frac{A+B+C}{3}=A+[2,8].$ Zatem $A=P-[2,8]=(-1,-4)$, a pozostałe punkty otrzymujemy przez dodanie danych wektorów.

Z twierdzenia o dwusiecznej $|BD|:|DC|=|AB|:|AC|$. Punkt $D$ dzieli zatem bok $BC$ wewnętrznie i $\overrightarrow{BD}=\frac{|AB|}{|AB|+|AC|}\overrightarrow{BC}.$ Ponieważ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$ oraz $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, po podstawieniu i zebraniu składników otrzymujemy żądany wzór.

Przyjmijmy $P$ za początek układu, a proste zawierające prostopadłe cięciwy za osie. Niech współrzędne punktów na pierwszej osi będą $a,b$, a na drugiej $c,d$. Jeśli $S=(p,q)$, równanie okręgu ma postać $x^2+y^2-2px-2qy+r=0.$ Na osi pierwszej liczby $a,b$ są pierwiastkami równania o sumie $2p$, a na drugiej $c,d$ mają sumę $2q$. Stąd suma czterech wektorów wynosi $[a+b,c+d]=[2p,2q]=2\overrightarrow{PS}$.