MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 110

Kolejne przesunięcia wynoszą $\vec u=A_2-A_1=[3,-2].$ Stąd $B_2=(5,6)$ i $\vec v=B_3-B_2=[9,-1]$. Dalej $C_3=C_1+\vec u+\vec v=(11,1)$, więc $\vec w=C_4-C_3=[-3,4]$. Wektor bezpośredniego przesunięcia jest sumą: $\vec x=\vec u+\vec v+\vec w=[9,1].$

Ponieważ $P$ jest środkiem obu przekątnych, $ABCD$ jest równoległobokiem. Zatem $D=A+C-B=(-3,-1)+(5,5)-(7,-2)=(-5,6).$ Ponadto $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\vec0$ i $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}=\vec0$. Suma czterech przesunięć jest więc zerowa, toteż punkt $D$ wraca na swoje miejsce.

Dla obwodu pięciokąta zachodzi $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}=\vec0.$ Ponieważ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, dodanie powyższej równości daje reprezentację, w której żaden współczynnik nie jest zerem.

Dla wektorów położenia mamy $E=\frac{A+C}{2}$ i $F=\frac{B+D}{2}$, więc $\overrightarrow{EF}=\frac12(B+D-A-C).$ a) Wyrażenie w nawiasie to $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\vec u-\vec v$.

b) Jest ono równe $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}=\vec x-\vec y$.

Aby wrócić do $O_1$, suma trzech przesunięć musi być zerowa. Mamy $\vec x+\vec y=(2\vec w-3\vec v)+(-3\vec w+5\vec v)=-\vec w+2\vec v.$ Zatem $\vec z=\vec w-2\vec v=[6,-1]-2[-5,-3]=[16,5]$.

Mamy $\overrightarrow{AB}=[6,3]$, skąd $\frac13\overrightarrow{AB}=[2,1],\quad \frac25\overrightarrow{AB}=\left[\frac{12}{5},\frac65\right],\quad \frac29\overrightarrow{AB}=\left[\frac43,\frac23\right].$ Jeśli $|AP|:|PB|=r:s$, to $\overrightarrow{AP}=\frac{r}{r+s}\overrightarrow{AB}$. Dodajemy ten wektor do punktu $A$.

Środek ciężkości ma współrzędne $P=\left(\frac{1+1-5}{3},\frac{-2+7+10}{3}\right)=(-1,5).$ Stąd $\overrightarrow{PA}=[2,-7]$, $\overrightarrow{PB}=[2,2]$, $\overrightarrow{PC}=[-4,5]$. Dzielimy każdy wektor przez jego długość.

Porównanie wszystkich różnic współrzędnych wskazuje dwa łańcuchy przesunięć i ich kierunki przeciwne.

I) $[3,1]$: $D\mapsto B$, $B\mapsto E$.

II) $[-3,-1]$: $E\mapsto B$, $B\mapsto D$.

III) $[4,-1]$: $D\mapsto A$, $A\mapsto F$.

IV) $[-4,1]$: $F\mapsto A$, $A\mapsto D$.

Pozostałe obrazy otrzymujemy przez dodanie odpowiedniego wektora.