MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 109

W przesunięciu $P'=P+\vec u$, więc $P=P'-\vec u$. Odejmujemy odpowiednie współrzędne w każdym podpunkcie.

Niech $\vec w=[p,q]$. Punkty $A$ i $C$ mają tę samą pierwszą współrzędną, więc po przesunięciu oba mogą leżeć na osi $OY$ tylko dla $p=-3$. Wtedy obraz $B$ ma pierwszą współrzędną $-4$, zatem musi leżeć na osi $OX$: $5+q=0$, czyli $q=-5$. Obrazy to $(0,-3)$, $(-4,0)$ i $(0,-9)$.

Możliwe wektory są równe $\overrightarrow{AM}=[11,2]$, $\overrightarrow{BM}=[5,2]$, $\overrightarrow{CM}=[5,-4]$ oraz $\overrightarrow{DM}=[11,-4]$. Ich kwadraty długości wynoszą kolejno $125$, $29$, $41$ i $137$, więc najdłuższy jest ostatni.

Wyznaczamy obrazy wierzchołków przez dodanie wektora przesunięcia, a potem wierzchołki części wspólnej. Ze wzoru na pole wielokąta (lub przez podział na trójkąty) otrzymujemy:

a) część wspólna ma wierzchołki $(1,0)$, $(3,4)$, $(5,0)$ i pole $8$;

b) ma wierzchołki $(3,0)$, $(4,3)$, $\left(\frac{11}{2},\frac52\right)$ i pole $\frac52$;

c) ma wierzchołki $(3,-1)$, $(6,2)$, $(0,5)$ i pole $\frac{27}{2}$.

Sprawdzamy, czy wyznacznik pary $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ jest równy zero.

a) Dla $[3,1]$ i $[\frac92,\frac52]$ wyznacznik wynosi $3$, więc punkty nie są współliniowe.

b) $[10,-5]=\frac52[4,-2]$.

c) $[6,2]=2[3,1]$.

d) Bezpośredni wyznacznik jest równy zero, więc wektory są równoległe.

Obliczamy wektory boków i przekątnych. Mamy $\overrightarrow{AC}=[-9,6]=-3[3,-2]=-3\overrightarrow{DE},$ więc $AC\parallel DE$. Ponadto $\overrightarrow{BE}=[-2,-6]=2[-1,-3]=2\overrightarrow{CD},$ więc $BE\parallel CD$. Są to dwie żądane przekątne.

Z warunków wynika $X=A+C-P$ oraz $Y=B+D-P$. Zatem $\overrightarrow{XY}=B+D-A-C.$ a) Jest to $(B-A)-(C-D)=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\vec a-\vec b$.

b) Jest to $(D-A)-(C-B)=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}=\vec u-\vec v$.