MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 108

Porównujemy współrzędne wektorów.

a) Otrzymujemy układ $2x+y=7$, $-x+2y=-6$, więc $x=4$, $y=-1$.

b) Otrzymujemy $4x+y=-2$, $-x+4y=-25$, więc $x=1$, $y=-6$.

c) Otrzymujemy $-x-2y=5$, $2x-y=0$, więc $x=-1$, $y=-2$.

d) Otrzymujemy $5x+3y=6$, $-3x+5y=-24$, więc $x=3$, $y=-3$.

Korzystamy z równości $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, a następnie ze wzoru $|[p,q]|=\sqrt{p^2+q^2}$.

a) $[-4+m,k-4]=[-1,-7]$, zatem $m=3$, $k=-3$.

b) $[k+2,-8+m]=[6,-4]$, zatem $k=4$, $m=4$.

c) $[k+3,-12+m]=[-1,-3]$, zatem $k=-4$, $m=9$.

d) Porównanie współrzędnych daje $2k-m=10$ i $k=7$, więc $m=4$.

Własność zachodzi dokładnie wtedy, gdy wyznacznik utworzony ze współrzędnych wektorów jest niezerowy.

a) $(-7)\cdot6-0\cdot0=-42\ne0$.

b) $3\cdot5-4\cdot(-2)=23\ne0$.

c) $6\cdot5-(-10)\cdot(-3)=0$; istotnie $\vec u+2\vec v=\vec0$.

d) $\frac13\cdot\frac13-\frac12\cdot\frac12=-\frac5{36}\ne0$.

Mamy $\overrightarrow{DA}=[7,2]$, $\overrightarrow{DB}=[16,5]$ i $\overrightarrow{DC}=[19,6]$. Warunki dają $7k+16m=19,\qquad 2k+5m=6.$ Ich rozwiązaniem jest $k=-\frac13$, $m=\frac43$, a więc także $k+m=1$. Te liczby spełniają żądaną równość wektorową.

Wektory $\vec w$ i $\vec t$ są niezależne, bo ich wyznacznik wynosi $13\ne0$. W bazie $(\vec w,\vec t)$ wektory $\vec u$ i $\vec v$ mają współrzędne odpowiednio $(3,\alpha)$ i $(\beta,5)$. Mają ten sam kierunek wtedy i tylko wtedy, gdy $\begin{vmatrix}3&\alpha\\ \beta&5\end{vmatrix}=15-\alpha\beta=0.$

W każdym podpunkcie obliczamy iloczyn skalarny wektorów wychodzących z $A$.

a) $[1,2]\circ[-2,1]=-2+2=0$.

b) $[6,a]\circ[-a,6]=-6a+6a=0$.

c) $[k,m]\circ[-m,k]=-km+mk=0$. Warunek $k\ne0$ lub $m\ne0$ wyklucza wektory zerowe.

Zatem $AB\perp AC$, więc kąt przy $A$ jest prosty.

Z pierwszego równania $\vec v=[1,-4]-\vec u$. Po podstawieniu do drugiego: $3\vec u-4([1,-4]-\vec u)=[38,-5],$ $7\vec u=[42,-21],$ stąd $\vec u=[6,-3]$ i $\vec v=[1,-4]-[6,-3]=[-5,-1]$.