MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 107

Porównujemy odpowiednie współrzędne w równaniu $[6,-5]=a\vec u+b\vec v$.

a) $[6,-5]=[a,b]$, więc $a=6$, $b=-5$.

b) $[6,-5]=[3a,-2b]$, więc $a=2$, $b=\frac52$.

c) $[6,-5]=[a,a+b]$, więc $a=6$, a następnie $6+b=-5$, czyli $b=-11$.

d) Otrzymujemy układ

$$\begin{cases} -3a+4b=6,\\ -7a-5b=-5. \end{cases}$$

Jego rozwiązaniem jest $a=-\frac{10}{43}$, $b=\frac{57}{43}$.

Szukamy kolejno współczynników w trzech kombinacjach liniowych.

Dla $\vec u=a\vec v+b\vec w$ otrzymujemy

$$\begin{cases}-a-3b=6,\\5a-b=-2, \end{cases}$$

skąd $a=-\frac34$, $b=-\frac74$.

Dla $\vec v=c\vec u+d\vec w$ mamy

$$\begin{cases}6c-3d=-1,\\-2c-d=5, \end{cases}$$

skąd $c=-\frac43$, $d=-\frac73$.

Dla $\vec w=e\vec u+f\vec v$ mamy

$$\begin{cases}6e-f=-3,\\-2e+5f=-1, \end{cases}$$

skąd $e=-\frac47$, $f=-\frac37$.

Niech $P=(x,y)$. Wtedy

$$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} =A+B+C-3P.$$

Warunek sumy równej $\vec0$ daje zatem $P=\frac{A+B+C}{3}$.

a) $P=\left(\frac{1+3+7}{3},\frac{4-5-2}{3}\right)=\left(\frac{11}{3},-1\right)$.

b) $P=\left(\frac{-1+4-5}{3},\frac{3+2+1}{3}\right)=\left(-\frac23,2\right)$.

Dwa wektory jednostkowe równoległe do niezerowego $\vec u$ to $\frac{\vec u}{|\vec u|}$ i $-\frac{\vec u}{|\vec u|}$.

a) $|\vec u|=5$, więc otrzymujemy $\left[-\frac35,\frac45\right]$ i $\left[\frac35,-\frac45\right]$.

b) $|\vec u|=2\sqrt5$, więc otrzymujemy $\left[\frac{\sqrt5}{5},-\frac{2\sqrt5}{5}\right]$ i $\left[-\frac{\sqrt5}{5},\frac{2\sqrt5}{5}\right]$.

c) $|\vec u|=\sqrt{36+28}=8$, więc otrzymujemy $\left[\frac34,\frac{\sqrt7}{4}\right]$ i $\left[-\frac34,-\frac{\sqrt7}{4}\right]$.

a) Obliczamy współrzędne kolejnych wektorów:

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=[1,0],& \overrightarrow{BC}&=[0,1],\\ \overrightarrow{CD}&=\left[-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right],& \overrightarrow{DE}&=\left[-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right],\\ \overrightarrow{EA}&=[0,-1].&& \end{aligned}$$

Ich długości są równe odpowiednio $1$, $1$, $\sqrt{\frac14+\frac34}=1$, $\sqrt{\frac14+\frac34}=1$ i $1$. Ponadto suma kolejnych wektorów zamkniętego łamanego teleskopuje:

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA} =\overrightarrow{AA}=\vec0.$$

b) Możemy wziąć

$$\overrightarrow{CD}=\left[-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right],\quad \overrightarrow{DE}=\left[-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right],\quad \overrightarrow{EC}=[1,0].$$

Każdy z nich ma długość $1$, a ich suma wynosi $[0,0]$.

Mamy

$\overrightarrow{AB}=B-A=[6,8].$

Długość $\overrightarrow{CD}$ ma być o $60\%$ mniejsza, czyli stanowić $40\%=\frac25$ długości $\overrightarrow{AB}$. Przeciwny zwrot daje

$\overrightarrow{CD}=-\frac25\overrightarrow{AB}=\left[-\frac{12}{5},-\frac{16}{5}\right].$

Zatem

$D=C+\overrightarrow{CD}=(3,7)+\left[-\frac{12}{5},-\frac{16}{5}\right]=\left(\frac35,\frac{19}{5}\right).$

Niezerowe wektory $[p,q]$ i $[r,s]$ mają ten sam kierunek wtedy i tylko wtedy, gdy $ps-qr=0$.

a) $(-1)(-4)-2m=0$, więc $m=2$.

b) $3(-3m)-(-2)\cdot1=0$, więc $m=\frac29$.

c) $4(m+3)-5m^2=0$, czyli $5m^2-4m-12=0$. Stąd $m=-\frac65$ lub $m=2$.

d) $(-2)\cdot3m^2-(-6)\cdot2m=0$, czyli $-6m(m-2)=0$. Wartość $m=0$ daje $\vec v=[0,0]$, który nie ma kierunku, więc pozostaje $m=2$.

Wektor jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy obie jego współrzędne są równe zeru.

a)

$\vec w=\vec u-3\vec v=[1-9m^2,6m-2].$

Z równania $6m-2=0$ mamy $m=\frac13$; ta wartość spełnia również $1-9m^2=0$.

b)

$\vec w=2\vec u+4\vec v=[2m+12,4m^2+4m].$

Pierwsza współrzędna zeruje się tylko dla $m=-6$, ale wtedy druga wynosi $4\cdot36-24=120\ne0$. Nie istnieje więc wartość spełniająca oba warunki.