MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 106

Najpierw obliczamy współrzędne $\vec w$, a potem korzystamy ze wzoru $|[p,q]|=\sqrt{p^2+q^2}$.

a) $\vec w=[-1,2]+2[3,-1]=[5,0]$, zatem $|\vec w|=5$.

b) $\vec w=3[-1,2]-4[3,-1]=[-15,10]$, zatem $|\vec w|=\sqrt{225+100}=5\sqrt{13}$.

c) $\vec w=\frac12[-1,2]-\frac32[3,-1]=\left[-5,\frac52\right]$, zatem

$|\vec w|=\sqrt{25+\frac{25}{4}}=\frac{5\sqrt5}{2}.$

Niech szukany wektor ma postać $[a,b]$, gdzie $a,b\in\mathbb Z$. Warunek długości daje

$a^2+b^2=25.$

Kwadraty liczb całkowitych nieprzekraczające $25$ to $0,1,4,9,16,25$. Jedynymi parami o sumie $25$ są $(0,25)$, $(9,16)$, $(16,9)$ i $(25,0)$. Uwzględniamy oba znaki niezerowych współrzędnych.

a) $B=A+\overrightarrow{AB}=(2,3)+[4,2]=(6,5)$. Następnie

$C=B+\overrightarrow{BC}=(6,5)+[3,5]=(9,10),$

więc $\overrightarrow{CA}=A-C=[-7,-7]$.

b) $C=A+\overrightarrow{AC}=(-1,6)+[-6,12]=(-7,18)$. Następnie

$B=C+\overrightarrow{CB}=(-7,18)+[7,-3]=(0,15),$

więc $\overrightarrow{CA}=A-C=[6,-12]$.

a) Ten sam kierunek i zwrot oraz dwukrotnie większa długość oznaczają

$\vec v=2\vec u=2[3,-9]=[6,-18].$

b) Przeciwny zwrot i trzykrotnie mniejsza długość oznaczają

$\vec v=-\frac13\vec u=-\frac13[3,-9]=[-1,3].$

Przenosimy znane wektory na drugą stronę każdej równości.

a) $\vec x=\vec v-\vec u=[5,2]-[4,-9]=[1,11]$.

b) $\vec x=\vec u+\vec v=[-6,-10]+[3,-11]=[-3,-21]$.

c) $\vec x=\vec u-\vec v=[5,-9]-[6,7]=[-1,-16]$.

d) $\vec x=\vec v-\vec w-\vec u=[4,-6]-[5,8]-[-1,9]=[0,-23]$.

e) $\vec x=\vec u+2\vec w-\vec v=[1,3]+2[-6,-9]-[5,-7]=[-16,-8]$.

f) $2\vec x=\vec w+\vec u-\vec v=[-2,-9]+[4,-6]-[-1,-8]=[3,-7]$, więc $\vec x=\left[\frac32,-\frac72\right]$.

Traktujemy symbole punktów jak ich pary współrzędnych i korzystamy z $\overrightarrow{XY}=Y-X$.

a) $B-A=P-B$, więc $P=2B-A=(15,-14)$.

b) $P-A=-(B-A)$, więc $P=2A-B=(-9,22)$.

c) $P-A=2(P-B)$, więc $P=2B-A=(15,-14)$.

d) $3(A-P)=-(B-P)$, zatem $4P=3A+B$ i $P=(1,7)$.

e) $(P-A)+(B-P)=B-A$ jest tożsamością, więc równość zachodzi dla każdego punktu $P$.

f) $(P-A)-(B-P)=B-A$, zatem $2P=2B$ i $P=B=(7,-2)$.

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=[-3,-13]+[-7,-10]+[-6,-9]=[-16,-32]$. Stąd $\overrightarrow{AP}=[-2,-4]$ i $P=A+\overrightarrow{AP}=(2,4)$.

b) Lewa strona ma współrzędne

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=[2,-4]+[8,10]=[10,6].$

Ponieważ $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CP}=3P-(A+B+C)$, otrzymujemy $[10,6]=2(3P-[4,-9])$, skąd $P=(3,-2)$.

c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=[10,17]+[-4,-14]=[6,3]$. Równanie przyjmuje postać

$4[6,3]=3(2P-B-D)=3(2P+[6,-2]),$

więc $6P=[6,18]$ i $P=(1,3)$.