MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 105

Ze skanu odczytujemy: $A(3,1)$, $B(5,5)$, $C(-5,6)$, $D(-2,1)$, $E(5,-2)$, $F(-3,-4)$, $G(3,-4)$ i $H(1,4)$.

Korzystamy ze wzoru $\overrightarrow{PQ}=[x_Q-x_P,y_Q-y_P]$:

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=[5-3,5-1]=[2,4],\\ \overrightarrow{CD}&=[-2-(-5),1-6]=[3,-5],\\ \overrightarrow{EF}&=[-3-5,-4-(-2)]=[-8,-2],\\ \overrightarrow{GH}&=[1-3,4-(-4)]=[-2,8]. \end{aligned}$$

Zatem

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GH} =[2+3-8-2,4-5-2+8]=[-5,5].$$

Dla $\overrightarrow{AB}=[p,q]$ mamy $B=A+[p,q]$, a dla $\overrightarrow{BA}=[p,q]$ mamy $B=A-[p,q]$.

a) $B=(-1,5)+[-2,5]=(-3,10)$.

b) $B=(4,-3)+[7,-6]=(11,-9)$.

c) $B=\left(-\frac12,2\right)-\left[\frac52,-\frac72\right]=\left(-3,\frac{11}{2}\right)$.

d) $B=(\sqrt2,6)-[3\sqrt2,-4]=(-2\sqrt2,10)$.

Obliczamy współrzędne wskazanych kombinacji i porównujemy je z $-\vec w$.

a) $2\vec u+3\vec v=2[-1,2]+3[3,-4]=[7,-8]=-[ -7,8]= -\vec w$, więc wektory są przeciwne.

b) $3\vec u-4\vec v=3[-1,2]-4[3,-4]=[-15,22]=\vec w$, więc nie są przeciwne.

c) $5\vec u+2\vec v=5[-1,2]+2[3,-4]=[1,2]=-[ -1,-2]= -\vec w$, więc wektory są przeciwne.

d) $\frac32\vec u-\frac52\vec v=\left[-\frac32,3\right]-\left[\frac{15}{2},-10\right]=[-9,13]=-[9,-13]= -\vec w$, więc wektory są przeciwne.

Dwa niezerowe wektory mają ten sam kierunek i zwrot, gdy jeden jest dodatnią wielokrotnością drugiego. Tutaj $\vec w=[1,2]$.

a) $\vec u+\vec v=[3,6]=3\vec w$, natomiast $\vec u-\vec v=[5,-2]$ nie jest wielokrotnością $\vec w$.

b) $\vec u+\vec v=[-4,6]$ nie jest wielokrotnością $\vec w$, natomiast $\vec u-\vec v=[2,4]=2\vec w$.

c) $\vec u+\vec v=[1,-4]$ oraz $\vec u-\vec v=[-7,14]$ nie są wielokrotnościami $\vec w$.

d) $\vec u+\vec v=[8,-6]$ nie jest wielokrotnością $\vec w$, a $\vec u-\vec v=[-4,-8]=-4\vec w$ ma ten sam kierunek, lecz przeciwny zwrot.

Ponieważ $P$ jest środkiem obu odcinków,

$C=2P-A=(3,7),\qquad D=2P-B=(2,-1).$

Obliczamy wektory potrzebne do porównania:

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=[1,8],&\overrightarrow{DC}&=[1,8],\\ \overrightarrow{DA}&=[5,-4],&\overrightarrow{BC}&=[-5,4]=-\overrightarrow{DA},\\ \overrightarrow{PC}&=[-2,6],&\overrightarrow{PD}&=[-3,-2],\\ \overrightarrow{CA}&=[4,-12],&\overrightarrow{PA}&=[2,-6]=\tfrac12\overrightarrow{CA},\\ \overrightarrow{PB}&=[3,2],&\overrightarrow{PD}&=-\overrightarrow{PB}. \end{aligned}$$

Ponadto $\overrightarrow{PD}$ i $\overrightarrow{DA}$ nie są proporcjonalne.

Zapiszmy $\overrightarrow{PQ}=Q-P$. Wtedy

$$\vec t=(D-A)-(D-C)=C-A=\overrightarrow{AC},$$ $$\vec w=(B-A)-(B-C)=C-A=\overrightarrow{AC},$$

więc $\vec t=\vec w$. Ponadto

$$\vec u=(B-A)-(D-A)=B-D=\overrightarrow{DB},$$ $$\vec x=(B-C)-(D-C)=B-D=\overrightarrow{DB},$$

zatem $\vec u=\vec x$.

Stosujemy $\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,y_B-y_A]$ i $|[p,q]|=\sqrt{p^2+q^2}$.

a) $\overrightarrow{AB}=[4,2]$, więc $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+4}=2\sqrt5$.

b) $\overrightarrow{AB}=[9,-3]$, więc $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{81+9}=3\sqrt{10}$.

c) $\overrightarrow{AB}=[1,7]$, więc $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+49}=5\sqrt2$.

d) $\overrightarrow{AB}=[2\sqrt5,4]$, więc $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{20+16}=6$.