MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 104

Wszystkie trzy koła mają promień $10$. Ich środki to

$$S_1=(5,0),\qquad S_2=(-5,0),\qquad S_3=(0,5\sqrt3).$$

Każda odległość między dwoma środkami jest równa $10$, więc trójkąt $S_1S_2S_3$ jest równoboczny. Część wspólna składa się z tego trójkąta i trzech jednakowych odcinków koła o kącie środkowym $60^\circ$.

$$\begin{aligned} P&=\frac{10^2\sqrt3}{4} +3\left(\frac{60^\circ}{360^\circ}\pi\cdot10^2 -\frac{10^2\sqrt3}{4}\right)\\ &=25\sqrt3+3\left(\frac{50\pi}{3}-25\sqrt3\right) =50(\pi-\sqrt3). \end{aligned}$$

Koło ma postać

$$(x+4)^2+y^2\leq32,$$

więc jego środek to $(-4,0)$, a promień $r=4\sqrt2$. Odległość środka od osi $OY$ wynosi $d=4$. Mniejsza część jest odcinkiem koła o kącie środkowym

$$2\arccos\frac{d}{r}=2\arccos\frac1{\sqrt2}=\frac\pi2.$$

Jej pole wynosi

$$P_m=\frac12r^2\cdot\frac\pi2-d\sqrt{r^2-d^2} =8\pi-16.$$

Pole całego koła to $32\pi$, zatem

$$P_w=32\pi-P_m=24\pi+16.$$

Stosunek pól jest równy

$$\frac{P_w}{P_m}=\frac{24\pi+16}{8\pi-16} =\frac{3\pi+2}{\pi-2}\approx10{,}01.$$

Koło $K_1$ ma środek $(0,0)$, promień $2\sqrt5$ i pole $20\pi$. Drugą nierówność zapisujemy jako

$$(x+a)^2+(y+2a)^2\leq5.$$

Zatem $K_2$ ma środek $(-a,-2a)$, promień $\sqrt5$ i pole dokładnie $5\pi$.

Część wspólna ma pole $5\pi$ wtedy i tylko wtedy, gdy całe $K_2$ zawiera się w $K_1$. Odległość środków wynosi $|a|\sqrt5$, więc warunek zawierania ma postać

$$|a|\sqrt5+\sqrt5\leq2\sqrt5 \iff |a|\leq1.$$

Sprowadzamy każdą nierówność do postaci $(x-p)^2+(y-q)^2\leq R^2$. Dodatnie $R^2$ daje koło, $R^2=0$ — jeden punkt, a ujemne $R^2$ — zbiór pusty.

a)

$$(x+1)^2+(y-2)^2\leq2(k+4).$$

b)

$$(x-3)^2+(y-4)^2\leq k^2-25.$$

c)

$$(x+3)^2+(y-1)^2\leq10-|k|.$$

d)

$$(x+2)^2+(y+1)^2\leq5-\sqrt{k^2+1}.$$

W ostatnim podpunkcie prawa strona jest dodatnia dokładnie dla $k^2<24$.

Skan strony 104 pokazuje, że żądane pole wynosi $3\pi$; wartość $5\pi$ w tekście OCR jest błędna.

a) Pierwsze dwie nierówności opisują prawą połowę koła o promieniu $2\sqrt2$, której pole wynosi $4\pi$. Trzecia nierówność usuwa wnętrze koła jednostkowego o środku $(m,0)$. Pole pozostanie równe $3\pi$ dokładnie wtedy, gdy całe to koło jednostkowe mieści się w prawej półkolistej części:

$$m-1\geq0,\qquad m+1\leq2\sqrt2.$$

b) Prostokąt $[0,4]\times[0,\pi]$ ma pole $4\pi$. Usuwane koło jednostkowe ma środek $(m,m)$. Aby odjąć całe jego pole $\pi$, musi ono mieścić się w prostokącie:

$$1\leq m\leq3,\qquad 1\leq m\leq\pi-1.$$

Ponieważ $\pi-1<3$, częścią wspólną warunków jest $[1,\pi-1]$.