MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 103

Ze skanu strony 103 odczytujemy współrzędne charakterystycznych punktów oraz rodzaj każdej linii. Linia ciągła daje nierówność nieostrą, a przerywana — ostrą.

a) Okrąg ma środek $(2,1)$ i promień $2$. Parabola ma wierzchołek $(2,1)$ i przechodzi przez $(0,2)$, więc ma równanie $y=\frac14(x-2)^2+1$. Prosta przechodzi przez $(0,-3)$ i $(2,1)$, zatem $y=2x-3$. Zacieniowany obszar leży wewnątrz okręgu i poniżej obu krzywych.

b) Zacieniowany fragment leży wewnątrz lewego koła o środku $(-1,0)$ i promieniu $2$, a na zewnątrz dwóch kół o środkach $(1,0)$ i $(0,1)$ oraz promieniu $2$.

c) Okrąg ma środek $(0,0)$ i promień $2\sqrt2$. Obszar leży poniżej wykresu $y=|x|$ i powyżej paraboli $y=-\frac12x^2$; obie te granice są wyłączone.

d) Romb ma wierzchołki $(\pm3,0)$ i $(0,\pm3)$, więc jego wnętrze opisuje $|x|+|y|<3$. Z tego wnętrza usunięto wnętrze koła jednostkowego, pozostawiając okrąg.

a) Na rysunku II zewnętrzny łuk należy do okręgu o środku $(0,0)$ i promieniu $5$, a cięciwa leży na prostej $x+y=5$. Zacieniowana część znajduje się wewnątrz koła i po stronie $x+y\geq5$.

b) Figurę III ograniczają łuki dwóch okręgów o promieniu $5$ i środkach $(0,0)$ oraz $(5,5)$. Odległość środków wynosi $5\sqrt2$, więc cięciwa wspólna wyznacza w każdym kole kąt środkowy $90^\circ$. Pole soczewki jest sumą dwóch odcinków koła:

a) Zbiór $A$ jest kołem o środku $(0,0)$ i promieniu $2$. Zbiór $B$ leży nad wykresem $y=|x|+1$ wraz z jego brzegiem. Część wspólna spełnia oba warunki, a suma — co najmniej jeden z nich.

b) Zbiór $A$ jest zewnętrzem koła o środku $(0,0)$ i promieniu $2$ wraz z okręgiem. Zbiór $B$ leży ściśle nad parabolą $y=x^2-4x$. Ponownie część wspólną opisuje spójnik „i”, a sumę spójnik „lub”.