MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 102

Po uzupełnieniu kwadratów otrzymujemy

$$K_1:(x-2)^2+y^2\leq16, \qquad K_2:(x+2)^2+y^2\leq16.$$

Oba koła mają promień $4$, a odległość ich środków wynosi $4$.

Niech $A$ będzie jednym z punktów przecięcia okręgów, a $O=(0,0)$. Trójkąt utworzony przez oba środki i punkt $A$ jest równoboczny, więc połowa soczewki w każdym kole jest odcinkiem koła o kącie środkowym $120^\circ$. Jego pole wynosi

$$P_o=\frac{120^\circ}{360^\circ}\pi\cdot4^2 -\frac12\cdot4^2\sin120^\circ =\frac{16\pi}{3}-4\sqrt3.$$

Zatem

$$P_{K_1\cap K_2}=2P_o =\frac83(4\pi-3\sqrt3).$$

Pole sumy obliczamy, odejmując część wspólną od sumy pól obu kół:

$$P_{K_1\cup K_2}=32\pi-P_{K_1\cap K_2} =\frac83(8\pi+3\sqrt3).$$

Szukamy par całkowitych spełniających $x^2+y^2\leq8$.

• Dla $x=0$ mamy $y\in\{-2,-1,0,1,2\}$: $5$ punktów.
• Dla $x=\pm1$ również $|y|\leq2$: $2\cdot5=10$ punktów.
• Dla $x=\pm2$ ponownie $|y|\leq2$: $2\cdot5=10$ punktów.

Dla $|x|\geq3$ nierówność nie zachodzi. Łącznie jest $5+10+10=25$ punktów.

Punkt nie należy do koła, gdy po podstawieniu jego współrzędnych lewa strona jest większa od $n^2$.

$$\begin{array}{c|c} \text{punkt}&x^2+y^2-4x-12\\ \hline A(8,4)&36\\ B(-7,0)&65\\ C(5,-19)&354 \end{array}$$

Żaden z punktów nie należy do koła wtedy i tylko wtedy, gdy $n^2<\min\{36,65,354\}=36$. Dla naturalnego $n$ największą możliwością jest $n=5$.

a) Pierwszą nierówność zapisujemy jako

$$(|x|-1)^2+y^2\leq1.$$

Opisuje ona sumę dwóch kół o środkach $(-1,0)$ i $(1,0)$ oraz promieniu $1$. Drugim warunkiem jest domknięta półpłaszczyzna nad prostymi $y=x$ i $y=-x$.

b) Równość

$$x^2+(|y|-2)^2\leq4$$

opisuje sumę dwóch kół o środkach $(0,-2)$ i $(0,2)$ oraz promieniu $2$. Z tej sumy wybieramy punkty leżące ściśle nad prostą $y=2x$.

c) Dodając $2$ do obu stron i uzupełniając kwadraty w każdej ćwiartce, otrzymujemy części czterech kół o środkach $(\pm1,\pm1)$ i promieniu $2$. Z ich sumy wybieramy punkty leżące ściśle na zewnątrz okręgu $x^2+y^2=4$.

d) Warunek $|y|\leq|x-2|$ opisuje dwie domknięte ćwiartki poziome, ograniczone prostymi $y=x-2$ i $y=-x+2$. Pozostawiamy z nich tylko punkty na zewnątrz koła $x^2+y^2\leq2$, wraz z jego okręgiem.