MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 101

Z rysunków odczytujemy środki i promienie. Skan strony 101 koryguje nieścisły opis OCR: w podpunkcie a) środek ma współrzędne $(0,5)$, a promień jest równy $4$; w podpunkcie c) promień jest równy $6$. Okrąg jest narysowany linią przerywaną, więc jego punkty nie należą do zewnętrza koła.

a) $S=(0,5)$, $r=4$, zatem $x^2+(y-5)^2>16$.

b) $S=(5,5)$, $r=5$, zatem $(x-5)^2+(y-5)^2>25$.

c) $S=(-2,1)$, $r=6$, zatem $(x+2)^2+(y-1)^2>36$.

Uzupełniamy kwadraty, aby odczytać środek, promień oraz stronę okręgu, którą należy zacieniować.

a)

$$x^2+y^2-2x-4y+4>0 \iff (x-1)^2+(y-2)^2>1.$$

Jest to zewnętrze koła o środku $(1,2)$ i promieniu $1$, bez okręgu.

b)

$$x^2+y^2+6x-2y-6<0 \iff (x+3)^2+(y-1)^2<16.$$

Jest to wnętrze koła o środku $(-3,1)$ i promieniu $4$, bez okręgu.

c)

$$x^2+y^2+8x+4y-5\geq0 \iff (x+4)^2+(y+2)^2\geq25.$$

Zaznaczamy zewnętrze koła wraz z okręgiem.

d)

$$x^2+y^2-2x\leq0 \iff (x-1)^2+y^2\leq1.$$

Zaznaczamy całe koło.

e)

$$x^2+y^2+6y-16>0 \iff x^2+(y+3)^2>25.$$

Jest to zewnętrze koła bez okręgu.

f) Ponieważ $x^2+y^2=0$ tylko dla $(x,y)=(0,0)$, nierówność opisuje całą płaszczyznę poza początkiem układu.

Każdą nierówność sprowadzamy do postaci kanonicznej:

$$\begin{aligned} K_1&:(x+2)^2+(y+2)^2\leq4,\\ K_2&:(x+2)^2+(y-2)^2\leq4,\\ K_3&:(x-2)^2+(y+2)^2\leq4,\\ K_4&:(x-2)^2+(y-2)^2\leq4. \end{aligned}$$

Są to cztery koła o promieniu $2$, których środki są wierzchołkami kwadratu o boku $4$. Sąsiednie koła są styczne, więc ich części wspólne mają pole zerowe. Stąd

$$P_F=4\cdot\pi\cdot2^2=16\pi.$$

Figura $F$ sięga od $-4$ do $4$ na obu osiach. Opisany na niej kwadrat ma zatem bok $8$, a koło w niego wpisane ma promień $4$. Jego pole wynosi

$$P_K=\pi\cdot4^2=16\pi=P_F.$$