MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 100

Środkiem koła jest $S=(-4,1)$. Dokładnie jeden z punktów należy do koła wtedy, gdy naturalny promień $n$ jest nie mniejszy od mniejszej z odległości $SA,SB$, ale mniejszy od większej.

a) $SA=7$, $SB=6$, więc $6\leq n<7$.

b) $SA=5$, $SB=10$, więc $5\leq n<10$.

c) $SA=15$, $SB=5$, więc $5\leq n<15$.

W każdym przypadku wybieramy liczby naturalne z otrzymanego przedziału.

Uzupełniamy kwadraty.

a) $(x-5)^2+(y+4)^2\leq1$ — koło o środku $(5,-4)$ i promieniu $1$.

b) $(x+1)^2+(y-8)^2\leq65$ — koło o środku $(-1,8)$ i promieniu $\sqrt{65}$.

c) $(x+2)^2+(y-3)^2\leq-7$ — zbiór pusty, więc nie jest to koło.

d) $(x+1)^2+y^2\leq0$ — tylko punkt $(-1,0)$, czyli przypadek promienia zerowego, a nie koło.

e) $x^2+(y-6)^2\leq6$ — koło o środku $(0,6)$ i promieniu $\sqrt6$.

f) $(x+10)^2+(y-10)^2\leq-200$ — zbiór pusty, więc nie jest to koło.

Każdą nierówność sprowadzamy do postaci kanonicznej koła.

a) Warunki $x^2+y^2\leq16$ i $x^2+y^2\geq4$ opisują domknięty pierścień o środku $(0,0)$ i promieniach $2$ oraz $4$.

b) Jest to część otwartego koła o środku $(0,2)$ i promieniu $3$, leżąca na zewnątrz koła o środku $(3,2)$ i promieniu $2$. Oba okręgi brzegowe są wyłączone.

c) Pierwsza nierówność ma postać $(x+4)^2+(y-3)^2\leq1$, a druga $x^2+(y-3)^2\leq16$. Układ opisuje część wspólną tych dwóch domkniętych kół.

d) Pierwsza nierówność to $(x-1)^2+(y-5)^2\leq16$, a druga $(x-3)^2+(y-5)^2>4$. Jest to część pierwszego koła po usunięciu drugiego koła; brzeg dużego koła należy do zbioru, a brzeg małego nie.

Ze skanu odczytujemy środki, promienie oraz rodzaj linii brzegowych. Linia ciągła oznacza nierówność nieostrą, a przerywana — ostrą.

a) Pierścień ma środek $(0,0)$, promienie $1$ i $3$, a oba brzegi należą do zbioru.

b) Są to wnętrza dwóch kół o promieniu $2$ i środkach $(-1,0)$ oraz $(1,0)$; oba okręgi są wyłączone.

c) Bierzemy koło o środku $(0,0)$ i promieniu $4$, ale usuwamy koło o środku $(0,2)$ i promieniu $2$. Duży okrąg należy do zbioru, mały jest wyłączony.

d) Zacieniowana figura jest częścią koła $x^2+y^2\leq25$ po stronie prostej $y=-x-1$ opisanej warunkiem $y\geq-x-1$; oba brzegi są włączone.