MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 99

Podstawiamy współrzędne do lewej strony nierówności koła i porównujemy z kwadratem promienia.

a) Otrzymujemy kolejno $74$, $64$, $61$ przy granicy $64$.

b) Kwadraty odległości od $(3,0)$ wynoszą $32$, $29$, $50$ przy granicy $32$.

c) Dla $A$ wynik wynosi $9$, dla $B$ mamy $|\sqrt{122}-8|>3$, a dla $C$ wynik wynosi $\frac14+\frac{25}{4}=\frac{13}{2}$; granicą jest $9$.

d) Kwadraty odległości od $(-1,6)$ wynoszą $61$, $65$, $72$ przy granicy $65$.

e) Kwadraty odległości od $(4,-1)$ wynoszą $\frac{113}{4}$, $\frac{37}{4}$ i $\frac{17}{2}$ przy granicy $10$.

Najmniejsze koło ma promień równy większej z odległości $SP$ i $SQ$. Kwadraty tych odległości wynoszą odpowiednio:

a) $100$ i $100$; b) $50$ i $36$; c) $16$ i $20$; d) $2$ i $2$; e) $50$ i $50$.

W każdym podpunkcie bierzemy większą wartość jako $r^2$ i wpisujemy ją po prawej stronie nierówności koła o podanym środku.

Promień najmniejszego koła jest największą odległością punktu $S=(-1,3)$ od jednego z podanych punktów.

a) Kwadraty odległości $SA,SB,SC$ wynoszą kolejno $5$, $1$, $10$, zatem $r^2=10$.

b) Kwadraty odległości wynoszą kolejno $53$, $45$, $40$, zatem $r^2=53$.

Punkt $C$ należy do koła o średnicy $AB$ wtedy i tylko wtedy, gdy $(C-A)\cdot(C-B)\leq0$. Obliczamy te iloczyny skalarne:

a) $(2,5)\cdot(0,-1)=-5$;

b) $(7,-2)\cdot(-1,-8)=9$;

c) $(2,4)\cdot(4,-2)=0$;

d) $(2,-\frac32)\cdot(-4,-\frac{11}{2})=\frac14$.

Wartość niedodatnia oznacza punkt wewnętrzny albo brzegowy.

Z pierwszego koła wynika $-4\leq y\leq6$, a z drugiego $-12\leq y\leq-2$. Dla punktów całkowitych wspólne są więc tylko rzędne $y=-4,-3,-2$.

Dla $y=-4$ pierwsza nierówność wymusza $x=6$. Dla $y=-3$ dostajemy jednocześnie $3\leq x\leq9$ oraz $-1\leq x\leq5$, więc $x\in\{3,4,5\}$. Dla $y=-2$ druga nierówność wymusza $x=2$. Te wartości spełniają również drugą z nierówności w każdym przypadku.

Promień najmniejszego koła jest odległością punktu $S$ od odcinka $AB$.

a) Prosta $AB$ ma równanie $x+2y-8=0$ i zawiera $S=(6,1)$, ale rzut $S$ leży poza odcinkiem, za punktem $B$. Najbliższym punktem odcinka jest więc $B=(0,4)$. Mamy $SB^2=6^2+(-3)^2=45$, stąd pole koła wynosi $45\pi$.

b) Odcinek jest częścią prostej $x=0$ od $y=5$ do $y=15$. Rzut punktu $S=(-5,10)$ to $(0,10)$ i leży na odcinku. Promień wynosi $5$, więc pole jest równe $25\pi$.

Niech $(x,y)$ będzie środkiem jednego z rozważanych kół. Punkt $(3,7)$ należy do koła o promieniu $6$ dokładnie wtedy, gdy jego odległość od środka nie przekracza $6$:

$\sqrt{(x-3)^2+(y-7)^2}\leq6.$

Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy szukaną nierówność.