MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 99

Z arytmetyczności $c=2b-a$. Warunek geometryczności drugiego ciągu ma postać $\left(\frac{2}{3b}\right)^2=\frac1a\cdot\frac1{2a+2b+c}.$ Po podstawieniu $c=2b-a$ i oznaczeniu $t=a/b>0$ dostajemy $4t(t+4)=9$, czyli $4t^2+16t-9=0$. Dodatnim rozwiązaniem jest $t=\frac12$. Iloraz ciągu geometrycznego wynosi zatem $q=\frac{2/(3b)}{1/a}=\frac{2a}{3b}=\frac13.$

Ponieważ $a,b,c$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, $a+c=2b$. Z sumy $a+b+c=27$ wynika $b=9$ i $a+c=18$. Warunek geometryczności daje $81=(a-2)(2c+1)=(a-2)(37-2a),$ czyli $2a^2-41a+155=0$. Stąd $a=5$ lub $a=\frac{31}{2}$, a odpowiednio $c=13$ lub $c=\frac52$.