MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 93

Warunek ciągu arytmetycznego daje $2\cdot3x=x^3-2x^2+18-3x,$ czyli $x^3-2x^2-9x+18=(x-2)(x-3)(x+3)=0.$ Dla $x=-3$ otrzymujemy $(-45,-9,27)$, a dla $x=2$ — $(0,6,12)$; oba ciągi są rosnące. Dla $x=3$ wyrazy są równe $(9,9,9)$, więc ten przypadek odpada.

Z równości $a_{11}-a_7=4r=8$ mamy $r=2$. Następnie $a_1+6r=1$, więc $a_1=-11$.

Wyrazy $(a_7,a_8,a_{11})=(1,3,9)$ tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $3$. Ponadto $S_n=\frac n2\bigl(2a_1+(n-1)r\bigr)=n(n-12)=(n-6)^2-36.$ Dla naturalnych $n\geq1$ najmniejsza wartość występuje przy $n=6$.