MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 92

Średnia sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa $\frac{a_1+a_6}{2}$. Ponieważ $a_6=a_1+5r=a_1-20$, mamy $\frac{a_1+a_1-20}{2}=16,$ stąd $a_1=26$.

Teraz $a_k=a_1+(k-1)r=26-4(k-1)=30-4k$. Zatem $30-4k=-78$, czyli $k=27$.

Dla ciągu geometrycznego $a_2=a_1q$ i $a_3=a_1q^2$. Ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie, $a_1>0$, więc $6a_1-5a_1q+a_1q^2=0\iff q^2-5q+6=0.$ Stąd $q=2$ albo $q=3$. Tylko $3$ należy do $\langle2\sqrt2,3\sqrt2\rangle$.

Wielomian rozkłada się następująco: $x^3-21x^2+84x-64=(x-1)(x-4)(x-16).$ Pierwiastki $1,4,16$ są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego, zatem $a_1=1$ i $q=4$.