Cała strona · Karty pracy · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 87

temat „3.18. Szereg geometryczny” · 4 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 5.1

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozdzielamy sumę na dwa szeregi:

-\left(\frac13+\frac19+\frac1{27}+\ldots\right).$$ Ich sumy wynoszą odpowiednio $1$ i $1/2$.

Odpowiedź

$\frac12$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5.2

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dodatnie składniki tworzą szereg $9+3+1+\ldots$ o sumie $27/2$ , a odejmowane — $1+1/5+1/25+\ldots$ o sumie $5/4$ . Zatem

Odpowiedź

$\frac{49}{4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Jest to szereg geometryczny o pierwszym wyrazie $1$ i ilorazie $q=-2/(x-1)$ . Jest zbieżny, gdy

\quad\text{czyli}\quad x<-1\ \text{lub}\ x>3.$$ W tej dziedzinie $$f(x)=\frac1{1+2/(x-1)}=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac2{x+1}.$$ Dla $x<-1$ wartości tworzą $(1,\infty)$, a dla $x>3$ — $(1/2,1)$.

Odpowiedź

$W_f=(\frac12;1)\cup(1;\infty)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech iloraz wynosi $q$ . Z $a_2=1$ mamy $a_1=1/q$ , a $a_3=q$ . Warunek sumy daje $\frac1q+1+q=4,$ czyli $q^2-3q+1=0$ . Zbieżność wymaga $|q|<1$ , więc $q=(3-\sqrt5)/2$ . Suma szeregu wynosi $\frac{a_1}{1-q}=\frac1{q(1-q)}=\sqrt5+2.$

Odpowiedź

$\sqrt5+2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem