MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 86

Jest to szereg geometryczny o $a_1=1$ i $q=-1/3$. Zatem $S=\frac1{1-(-1/3)}=\frac34.$

Iloraz szeregu wynosi $q=\frac{1/x}{3}=\frac1{3x}.$ Zbieżność wymaga $|q|<1$, czyli $|x|>1/3$.

Szereg ma pierwszy wyraz $x$ i iloraz $x^2$, więc wymaga $|x|<1$ i ma sumę $x/(1-x^2)$. Równanie $\frac{x}{1-x^2}=\frac23$ daje $(2x-1)(x+2)=0$. Warunek zbieżności spełnia tylko $x=1/2$.

Iloraz drugiego wyrazu przez pierwszy upraszcza się do $q=\sqrt2-1$; taki sam iloraz daje trzecia para, więc są to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Ponieważ $|q|<1$, suma wynosi