MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 81

Mamy $\left|a_n-2\right|=\left|\frac{-5}{n+1}\right|=\frac5{n+1}.$ Warunek $5/(n+1)<1/1000$ daje $n+1>5000$, czyli dla naturalnych indeksów $n\ge5000$.

Z definicji granicy równej zero dla każdego $\varepsilon>0$ prawie wszystkie wyrazy spełniają $|a_n|<\varepsilon$. Dla $\varepsilon=10^{-6}$ oznacza to przynależność do podanego przedziału.

a) Ciąg arytmetyczny o skończonej granicy musi być stały, więc można przyjąć $a_n=-3$.

b) Na przykład $a_n=5-1/n$. Jest ściśle rosnący, a jego granica wynosi $5$.

Dla ciągu $c^n$ granica jest równa zero, gdy $|c|<1$. Dla $p=1{,}5$ mamy $c=p^2-6p+7=\frac14,$ co spełnia ten warunek.

Dla parzystych indeksów $a_{2k}=1+\frac{2}{k}\longrightarrow1,$ a dla nieparzystych $a_{2k-1}=-1+\frac{4}{2k-1}\longrightarrow-1.$ Dwa podciągi mają różne granice, więc cały ciąg nie ma granicy.

Kolejne wyrazy to $1,0,-1,0,1,0,-1,0,\ldots$ Podciąg $a_{4k+1}$ jest stale równy $1$, a podciąg $a_{4k+3}$ — stale równy $-1$. Zatem ciąg nie ma jednej granicy.