MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy — strona 79

Niech pierwotny ciąg ma postać $(a,aq,aq^2)$. Warunek, że po dodaniu $8$ do środka powstaje ciąg arytmetyczny, daje $a(q-1)^2=16.$ Po dalszym dodaniu $64$ do ostatniego wyrazu warunek geometryczności ma postać $(aq+8)^2=a(aq^2+64),$ czyli $a(4-q)=4$. Po połączeniu równań otrzymujemy $q^2+2q-15=0,$ zatem $q=3$ albo $q=-5$.

Dla $q=3$ mamy $a=4$, a dla $q=-5$ mamy $a=4/9$.

Niech pierwotny ciąg będzie równy $(a,b,c)$. Z arytmetyczności $2b=a+c$. Po zmianach ciąg $(a+5,b+3,c+4)$ jest rosnący geometryczny, a $c+4=4(a+5)$, więc jego iloraz wynosi $2$. Zatem $c=4a+16,\qquad b=\frac{a+c}{2}=\frac{5a+16}{2},$ $b+3=2(a+5).$ Ostatnie równanie daje $a=-2$, a następnie $b=3$, $c=8$.

Niech iloraz wynosi $q>0$. Suma wyrazów nieparzystych to $a_1(1+q^2+\ldots+q^{98})$, a parzystych — $q$ razy ta suma. Z warunku otrzymujemy $q=1/100$.

Suma logarytmów jest logarytmem iloczynu: $100\log a_1+(0+1+\ldots+99)\log q=100.$ Ponieważ $\log q=-2$ i suma wykładników wynosi $4950$, $100\log a_1-9900=100.$ Stąd $\log a_1=100$.